C42 出力数＞＝入力数

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SM出力フィードバック…Homework

[1]　制御対象の状態空間表現として次式を考えます。

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+f(t,x,u)\\ y(t)=Cx(t)\\ (x(t)\in{\rm\bf R}^n, u(t)\in{\rm\bf R}^m, y(t)\in{\rm\bf R}^p, f(t,x,u)\in{\rm\bf R}^n) \end{array} }

ただし、次のマッチング条件が成り立つとします。

\displaystyle{(2)\quad \begin{array}{l} f(t,x,u)=B\xi(t,x,u)\\ ||\xi(t,x,u)||<k_1||u||+\alpha(t,y) \end{array} }

このとき、適当なF\in{\rm\bf R}^{m\times p}に対して、SM超平面

\displaystyle{(3)\quad {\cal S}=\{x\in{\rm\bf R}^n: Fy=\underbrace{FC}_{S}x=0\} }

を考えます。ここで、p\ge mの場合を考え、

\displaystyle{(4)\quad {\rm rank}(CB)=m }

を仮定します。さらに、(1)において座標変換x_c=T_cxを行って、C行列が[0\ I_p]となるようにしておきます。

\displaystyle{(5)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_{c1}(t)\\ \dot y(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_c(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{c11} & A_{c12} \\ A_{c21} & A_{c22} \\ \end{array}\right] }_{A_c=T_c A T_c^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{c1}(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x_c(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} B_{c1}\\ B_{c2} \end{array}\right] }_{B_c=T_c B} (u(t)+\xi(t,x,u)) }

\displaystyle{(6)\quad y(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{p\times n-p} & I_p \\ \end{array}\right] }_{C_c=CT_c^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{c1}(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x_c(t)} }

ここで、(4)より

\displaystyle{(7)\quad {\rm rank}(CB)={\rm rank}(CT_c^{-1}T_cB)={\rm rank}(C_cB_c)=B_{c2}=m }

したがって、ある直交行列T\in{\rm R}^{p\times p}により

\displaystyle{(8)\quad T^TB_{c2} = \left[\begin{array}{c} 0_{p-m\times m}\\ {B}_{b22} \end{array}\right] }

とすることができます（B_{c2}の特異値分解から）。このTを用いた座標変換

\displaystyle{(9)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{b1}(t)\\ x_{b2}(t) \end{array}\right] }_{x_b(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & -B_{c1}(B_{c2}^TB_{c2})^{-1}B_{c2}^T \\ 0_{p\times n-p} & T^T \\ \end{array}\right] }_{T_b} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{c1}(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x_c(t)}\\ \Leftrightarrow \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{c1}(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x_c(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & B_{c1}(B_{c2}^TB_{c2})^{-1}B_{c2}^T \\ 0_{p\times n-p} & T \\ \end{array}\right] }_{T_b^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{b1}(t)\\ x_{b2}(t) \end{array}\right] }_{x_b(t)} \end{array} }

を行って、次をの標準形を得ます。

\displaystyle{(10)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_{b1}(t)\\ \dot{x}_{b2}(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_b(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} {A}_{b11} & {A}_{b12} \\ {A}_{b21} & {A}_{b22}\\ \end{array}\right] }_{A_b=T_b A_c T_b^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{b1}(t)\\ x_{b2}(t) \end{array}\right] }_{x_b(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0_{n-p\times m}\\\hline 0_{p-m\times m}\\ \bar{B}_{b22} \end{array}\right] }_{B_b=T_bB_c} (u(t)+\xi(t,x,u)) }

\displaystyle{(11)\quad y(t) = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{p\times n-p} & T \end{array}\right] }_{C_b=C_cT_b^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{b1}(t)\\ x_{b2}(t) \end{array}\right] }_{x_b(t)} }

ここで、FC_bを次のように表しておきます。

\displaystyle{(12)\quad FC_b= \left[\begin{array}{cc} 0_{m\times n-p} & FT \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 0_{m\times n-p} & F_1 & F_2 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} F_1C_1 & F_2 \end{array}\right] }

ただし

\displaystyle{(13)\quad C_1= \left[\begin{array}{cc} 0_{p-m\times n-p} & I_{p-m} \end{array}\right] }