C22 SM制御則

SM制御則…Homework

[1] 制御対象の状態方程式として次式を考えます。

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+f(t,x,u)\\ (x(t)\in{\rm\bf R}^n, u(t)\in{\rm\bf R}^m, f(t,x,u)\in{\rm\bf R}^n) \end{array} }

以下では、状態方程式とスイッチング関数は次の標準形(regular form)をとるように座標変換されていると仮定します({\rm rank}B={\rm rank}S=m)。

\displaystyle{(2)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot x_2(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right] }_{B} u(t) + \underbrace{ \left[\begin{array}{l} f_u(t,x)\\ f_m(t,x,u) \end{array}\right] }_{f(t,x,u)} }

\displaystyle{(3)\quad s(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} S_1 & S_2 \\ \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} = \underbrace{S_2 \left[\begin{array}{cc} M & I \\ \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} \ (M=S_2^{-1}S_1) }

これに対して、座標変換

\displaystyle{(4)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ S_1 & S_2 \\ \end{array}\right] }_{T_s} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)}\\ \Leftrightarrow \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ -S_2^{-1}S_1 & S_2^{-1} \\ \end{array}\right] }_{T_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)} \end{array} }

を行って、次式を得ます。

\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot s(t) \end{array}\right] }_{\dot{\bar{x}}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \\ \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22}\\ \end{array}\right] }_{\bar{A}=T_s A T_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ \bar{B}_2 \end{array}\right] }_{\bar{B}=T_sB} u(t)\\ + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} f_u(t,x)\\ S_1f_u(t,x)+S_2f_m(t,x,u) \end{array}\right] }_{T_sf(t,x,u)} \end{array} }

\displaystyle{ \begin{array}{l} (6.1)\quad \bar{A}_{11}=A_{11}-A_{12}M\\ (6.2)\quad \bar{A}_{12}=A_{12}S_2^{-1}\\ (6.3)\quad \bar{A}_{21}=S_2(M\bar{A}_{11}+A_{21}-A_{22}M)\\ (6.4)\quad \bar{A}_{22}=S_2(M{A}_{12}+A_{22})S_2^{-1}\\ (6.5)\quad \bar{B}_{2}=S_2B_2 \end{array} }

以下では、\bar{A}_{11}が安定行列となるようにスイッチング関数が選ばれていると仮定します。

このとき、SMC則

\displaystyle{(7)\quad { u(t)=\underbrace{u_\ell(t)}_{linear\ control}+\underbrace{u_n(t)}_{switching\ component}} }

を、2次安定性

\displaystyle{{ \begin{array}{lll} (8.1)\quad V(s)=s^T(t)P_2s(t)&\Rightarrow \dot{V}(s)\le -s^T(t)s(t)&(t\le t_s)\\ (8.2)\quad V(x_1)=x_1^T(t)P_1x_1(t)&\Rightarrow \dot{V}(x_1)\le -x_1^T(t)Q_1x_1(t)&(t> t_s) \end{array}} }

が成り立つように決定します(P_1>0, P_2>0, Q_1>0)。

[2] 可到達性の検討 (t\le t_s)

等価制御は、(5)においてf_u=0, f_m=0として

\displaystyle{ \begin{array}{cl} (9.1) & s(t)=0\\ \Downarrow &\\ (9.2) & \dot{s}(t)=0\\ \Downarrow &\\ (9.3) & \bar{A}_{21}x_1(t)+\bar{A}_{22}s(t)+\bar{B}_{2}u(t)=0\\ \Downarrow &\\ (9.4) & u_{eq}(t)=-\underbrace{\bar{B}_{2}^{-1}}_{([0\ I]T_sB)^{-1}} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22} \\ \end{array}\right]}_{[0\ I]T_sAT_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)}\\ \Downarrow &S=[0\ I]T_s, x=T_s^{-1}\bar{x}\\ (9.5) & u_{eq}(t)=-(SB)^{-1}SAx(t)} \end{array} }

のように得られます。(7)の線形制御u_\ellは、この等価制御をベースして

\displaystyle{(10.1)\quad  u_\ell(t)=-\bar{B}_{2}^{-1} (\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22} \\ \end{array}\right]\bar{x}(t)-\Phi s(t)) }

すなわち

\displaystyle{(10.2)\quad { u_\ell(t)=-\underbrace{(SB)^{-1}(SA-\Phi S)}_{L=L_{eq}+L_{phi}}x(t)} }

のように構成します。ここで、\Phiは適当に設定された安定行列です。このとき閉ループ系は次式で与えられます。

\displaystyle{(11)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t)\\ \dot{s}(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \\ 0 & \Phi \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right]\\ + \left[\begin{array}{c} f_u(t,x)\\ \bar{B}_{2}u_n(t)+S_2(Mf_u(t,x)+f_m(t,x,u)) \end{array}\right] \end{array} }

すなわち

\displaystyle{ \begin{array}{l} (12.1)\quad \dot{x}_1(t)=\bar{A}_{11}x_1(t)+\bar{A}_{12}s(t)+f_u(t,x)\\ (12.2)\quad \dot{s}(t)=\Phi s(t)+\bar{B}_{2}u_n(t)+S_2(Mf_u(t,x)+f_m(t,x,u)) \end{array} }

ここで、\Phiは安定行列なので

\displaystyle{(13)\quad \begin{array}{l} P_2\Phi+\Phi^TP_2=-I \end{array} }

を満たすP_2>0を選ぶことができます。これを用いて、(7)のスイッチング項u_n

\displaystyle{(14.1)\quad  u_n(t)=-\underbrace{\bar{B}_{2}^{-1}}_{(SB)^{-1}}\rho(t,x)\frac{P_2s(t)}{||P_2s(t)||} }

すなわち

\displaystyle{(14.2)\quad { u_\ell(t)=-\underbrace{(SB)^{-1}\rho(t,x)}_{L_n}\frac{P_2s(t)}{||P_2s(t)||} }

と定めます。\rho(t,x)は、仮定

{\displaystyle{ \begin{array}{l} (15.1)\quad ||f_u(t,x)|| < k_1||x(t)||+k_2\\ (15.2)\quad ||f_m(t,x,u)|| < k_3||u(t)||+\alpha(t,x)\\ (15.3)\quad k_3 ||\bar{B}_{2}||\,||\bar{B}_{2}^{-1}||\,||B_2^{-1}|| < 1 \end{array} }

のもとで

\displaystyle{{ (16)\quad %\begin{array}{l} \rho(t,x)\ge \frac{||S_2|| (||M||(k_1||x(t)||+k_2)+k_3||u_\ell(t)||+\alpha(t,x))+\gamma_2}{1-k_3 ||\bar{B}_{2}||\,||\bar{B}_{2}^{-1}||\,||B_2^{-1}||} %\end{array} }}

のように選びます。このとき

\displaystyle{ \begin{array}{l} (17.1)\quad S_2=S_2B_2 B_2^{-1} \Rightarrow ||S_2||<||\bar{B}_{2}||\,||B_2^{-1}||\\ (17.2)\quad ||u_n(t)||\le\rho(t,x)||\bar{B}_{2}^{-1}||\\ (17.3)\quad ||u(t)||\le ||u_\ell(t)||+||u_n(t)|| \end{array} }

に注意して

\displaystyle{ \begin{array}{cl} (18.1) & \rho(t,x)\ge k_3 \rho(t,x)||\bar{B}_{2}||\,||\bar{B}_{2}^{-1}||\,||B_2^{-1}||\\  & +||S_2|| (||M||(k_1||x(t)||+k_2)+k_3||u_\ell(t)||+\alpha(t,x))+\gamma_2}\\ \Downarrow & by\ (17.1)\\ (18.2) & \ge k_3 \rho(t,x)||S_2||\,||\bar{B}_{2}^{-1}||\\  & + ||S_2|| (||M||(k_1||x(t)||+k_2)+k_3||u_\ell(t)||+\alpha(t,x))+\gamma_2}\\ \Downarrow &  \\ (18.3) & \ge ||S_2|| \{||M||(k_1||x(t)||+k_2)\\  & +k_3(||u_\ell(t)||+ \rho(t,x)||\bar{B}_{2}^{-1}||)+\alpha(t,x)\}+\gamma_2}\\ \Downarrow & by\ (17.2)  \\ (18.4) & \ge ||S_2|| (||M||(k_1||x(t)||+k_2) +k_3(||u_\ell(t)||+||u_n(t)||)+\alpha(t,x))+\gamma_2}\\ \Downarrow & by\ (17.3) \\ (18.5) & \ge ||S_2|| (||M||(k_1||x(t)||+k_2)+k_3||u(t)||+\alpha(t,x))+\gamma_2}\\ \Downarrow & by\ (15.1),(15.2) \\ (18.6) & \ge ||S_2|| (||M||\,||f_u(t,x)||+||f_m(t,x,u)||)+\gamma_2} \end{array} }

を得て、次式が成り立ちます。

\displaystyle{ \begin{array}{cl} (19.1) & \dot{V}(s)=2s^T(t)P_2\dot{s}(t)\\ \Downarrow & by\ (12.2) \\ (19.2) & =2s^T(t)P_2 (\Phi s(t)-\rho(t,x)\frac{P_2s(t)} {||P_2s(t)||}+S_2(Mf_u(t,x)+f_m(t,x,u)))\\ \Downarrow & \\ (19.3) & =s^T(t)(P_2\Phi+\Phi^TP_2)s(t)\\  & +2s^T(t)P_2(-\rho(t,x)\frac{P_2s(t)} {||P_2s(t)||}+S_2(Mf_u(t,x)+f_m(t,x,u)))\\ \Downarrow & by\ (13) \\ (19.4) & \le-||s(t)||^2\\  & -2||P_2s(t)||(\rho(t,x)-||S_2||(||M||||f_u(t,x)||+||f_m(t,x,u)||)\\ \Downarrow & by\ (18.6) \\ (19.5) & \le -||s(t)||^2-2\gamma_2||P_2s(t)||\\ (19.6) & \le -||s(t)||^2 \end{array} }

これより(8)の第1式が成り立ちます。

●到達時刻t_sを見積もるために、(19)から

\displaystyle{(20)\quad \dot{V}(s) \le -2\gamma_2||P_2s(t)|| }

も成り立つことと

\displaystyle{(21)\quad ||P_2s(t)||^2=(P_2^{1/2}s(t))^TP_2(P_2^{1/2}s(t)) \ge \sigma_n^2(P_2)||P_2^{1/2}s(t)||^2=\sigma_n^2(P_2)V(s) }

に注意して

\displaystyle{(22)\quad \dot{V}(s)\le -2\gamma_2\sigma_n(P_2)V^{1/2}(s) }

よって

\displaystyle{(23)\quad \begin{array}{l} \dot{V}(s)=\frac{d}{dt}(V^{1/2}(s))^2=2V^{1/2}(s)\frac{d}{dt}V^{1/2}(s)< -2\gamma_2\sigma_n(P_2) V^{1/2}(s)\\ \Rightarrow \frac{d}{dt}V^{1/2}(s)< -\gamma_2\sigma_n(P_2) \end{array} }

この両辺を積分すると

\displaystyle{(24)\quad { \begin{array}{l} \underbrace{V^{1/2}(s(t_s))}_0-V^{1/2}(s(0))< -\gamma_2\sigma_n(P_2) t_s \Leftrightarrow t_s\le \frac{V^{1/2}(s(0))}{\gamma_2\sigma_n(P_2)} \end{array}} }

を得て、スライディング直線に到達する時刻t_sを見積もることができます。

[2] スライディングモードの検討 (t> t_s)

\bar{A}_{11}は安定行列なので

\displaystyle{(25)\quad \begin{array}{l} P_1\bar{A}_{11}+\bar{A}_{11}^TP_1=-Q_1<0 \end{array} }

を満たすP_1>0を選ぶことができます。

\displaystyle{ \begin{array}{cl} (26.1)&\dot{V}(x_1)=2x_1^T(t)P_1\dot{x}_1(t)\\ \Downarrow & by\ (5) \\ (26.2)&=2x_1^T(t)P_1(\bar{A}_{11}x_1(t)+\bar{A}_{12}\underbrace{s(t)}_{0}+f_u(t,x))\\ \Downarrow & \\ (26.3)&=x_1^T(t(P_1\bar{A}_{11}+\bar{A}_{11}^TP_1)x_1(t)+2x_1^T(t)P_1f_u(t,x)\\ \Downarrow & by\ (25) \\ (26.4)&=-x_1^T(t)Q_1x_1(t)+2x_1^T(t)P_1f_u(t,x)\\ \Downarrow &\\ (26.5)&\le -\sigma_n^2(Q_1)x_1^T(t)x_1(t)+2||x_1^T(t)P_1||\,||f_u(t,x)||\\ \Downarrow &\\ (26.6)&\le -\sigma_n^2(Q_1)||x_1(t)||^2+2\sqrt{x_1^T(t)P_1^2x_1(t)}\,||f_u(t,x)||\\ \Downarrow &\\ (26.7)&\le -\sigma_n^2(Q_1)||x_1(t)||^2+2\sqrt{\sigma_1^2(P_1^2)x_1^T(t)x_1(t)}\,||f_u(t,x)||\\ \Downarrow &\\ (26.8)&= -\sigma_n^2(Q_1)||x_1(t)||^2+2\sigma_1^2(P_1)||x_1(t)||\,||f_u(t,x)||\\ \Downarrow &\\ (26.9)&= -\sigma_1^2(P_1)||x_1(t)||(\frac{\sigma_n^2(Q_1)}{\sigma_1^2(P_1)}||x_1(t)||-2||f_u(t,x)||) \end{array} }

ここで

\displaystyle{{ (27)\quad ||f_u(t,x)||<\frac{1}{2}\frac{\sigma_n^2(Q_1)}{\sigma_1^2(P_1)}||x_1(t)|| }}

を仮定します。このとき

\displaystyle{(28)\quad \begin{array}{l} \dot{V}(x_1)\le -\sigma_1^2(P_1)||x_1(t)||(\frac{\sigma_n^2(Q_1)}{\sigma_1^2(P_1)}||x_1(t)||-2||f_u(t,x)||)\\ \le -\sigma_1^2(P_1)||x_1(t)||(\frac{\sigma_n^2(Q_1)}{\sigma_1^2(P_1)}||x_1(t)||)\\ =-\sigma_n^2(Q_1)||x_1(t)||^2\\ \le -x_1^T(t)Q_1x_1(t) \end{array} }

これより(8)の第2式が成り立ちます。

Note 1 標準形(2)について

列フルランクをもつBは、サイズn\times nの直交行列Uとサイズm\times mの直交行列Vを用いて

\displaystyle{(1)\quad B=U\Sigma V^T}

のように特異値分解できます。

\displaystyle{(2)\quad \Sigma= \left[\begin{array}{cc} \Sigma_1 \\ 0_{n-m\times m}  \end{array}\right] }

\displaystyle{(3)\quad \Sigma_1={\rm diag}\{\sigma_1,\cdots,\sigma_m\}\quad(\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_m>0) }

いま

\displaystyle{(4)\quad U= \left[\begin{array}{cc} U_1(n\times m) & U_2(n\times n-m)  \end{array}\right] }

と分割するとき、(1)に対する座標変換

\displaystyle{(5)\quad x_{r}(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} U_2 & U_1 \end{array}\right] }_{T_r} x(t) \Leftrightarrow x(t)=T_r^Tx_r(t) }

を行うと(T_r^{-1}=T_r^Tに注意)

\displaystyle{(6)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_{r1}(t)\\ \dot{x}_{r2}(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_r(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{r11} & A_{r12} \\ A_{r21} & A_{r22} \\ \end{array}\right] }_{A_r=T_rAT_r^T} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{r1}(t)\\ x_{r2}(t) \end{array}\right] }_{x_r(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ \Sigma_1V^T \end{array}\right] }_{B_r=T_rB} u(t)\\ + \underbrace{ \left[\begin{array}{l} f_{ru}(t,x)\\ f_{rm}(t,x,u) \end{array}\right] }_{f_r(t,x,u)=T_rf(t,x,u)} \end{array} }

のように(2)が得られます。ちなみに(3)は次式に相当します。

\displaystyle{(7)\quad s(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} S_{r1} & S_{r2} \\ \end{array}\right] }_{S_r=ST_r^T} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{r1}(t)\\ x_{r2}(t) \end{array}\right] }_{x_r(t)} }

これから、標準形に対して求めたスイッチング関数を元の状態方程式に関するものに戻すには

\displaystyle{(8)\quad S=S_rT_r }

とすればよいことが分かります。

Note 2 2次安定性の条件(8)について
(8)は次のようにまとめられることに注意してください。

\displaystyle{(1)\quad  \begin{array}{lll} V(x')= \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right]^T }_{x'^T(t)} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} P_1 & 0\\ 0 & P_2 \end{array}\right] }_{P} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{x'(t)}\\ = x_1^T(t)P_1x_1(t)+s^T(t)P_2s(t)\\ \Rightarrow \dot{V}(x')\le - \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right]^T }_{x'^T(t)} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} Q_1 & 0\\ 0 & Q_2 \end{array}\right] }_{P} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{x'(t)}\\ =-x_1^T(t)Q_1x_1(t)-s^T(t)Q_2s(t)\quad(Q_2=I) \end{array}} }

ここで、t>t_sではs=0ですから、(8.2)を意味します。一方、t\le t_sでは\bar{A}_{11}は安定行列なので((25)から-x_1^T(t)Q_1x_1(t)<0

\displaystyle{(2)\quad  \dot{V}(x')\le -x_1^T(t)Q_1x_1(t)-s^T(t)s(t)\le -s^T(t)s(t)\\ }

となって、(8.1)を意味します。

Note 3 条件(15)について
次式で表されるDCモータを考えます。

\displaystyle{(1)\quad \left\{\begin{array}{l} J_0\ddot{\theta}=K_ti_a\\ L_0\dot{i}_a+Ri_a=v_a-K_e\dot{\theta} \end{array}\right. }

これより、次の状態方程式を得ます。

\displaystyle{(2)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{\theta}\\ \dot{\omega}\\ \dot{i}_a \end{array}\right] }_{\dot{x}} = \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{K_t}{J_0}\\ 0 & -\frac{K_e}{L_0} & -\frac{R}{L_0} \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \theta\\ \omega\\ i_a \end{array}\right] }_{x} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \frac{1}{L_0} \end{array}\right] }_{B} \underbrace{ v_a }_{u} }

またスイッチング関数として次式を考えます(この決め方はあとで述べます)。

\displaystyle{(3)\quad s= \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} \frac{J_0}{K_t}\omega_n^2 & 2\frac{J_0}{K_t}\zeta\omega_n & 1 \end{array}\right] }_{S}x \quad(M=\left[\begin{array}{cc} \frac{J_0}{K_t}\omega_n^2 & 2\frac{J_0}{K_t}\zeta\omega_n  \end{array}\right]) }

さらに次式のようなパラメータの不確かさを考えます。

\displaystyle{(4)\quad \left\{\begin{array}{l} \underbrace{(1+\xi_J)J_0}_{J}\ddot{\theta}=K_ti_a\\ \underbrace{(1+\xi_L)L_0}_{L}\dot{i}_a+Ri_a=v_a-K_e\dot{\theta} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \ddot{\theta}=\frac{K_t}{J_0}i_a\underbrace{-\xi_J\ddot{\theta}}_{f_{u}}\\ \dot{i}_a=-\frac{R}{L_0}i_a-\frac{K_e}{L_0}\dot{\theta}+\frac{1}{L_0}v_a\underbrace{-\xi_L\dot{i}_a}_{f_m} \end{array}\right. }

ただし、次を仮定します。

\displaystyle{(5)\quad |\xi_J|<0.5,\ |\xi_L|<0.0.1  }

これにより状態方程式は次式となります。

\displaystyle{(6)\quad \dot{x}=Ax+Bu+ \left[\begin{array}{c} 0\\ f_{u}\\ f_{m} \end{array}\right]%} }

まずf_m

\displaystyle{(7)\quad f_m=-\xi_L\dot{i}_a=-\xi_L(-\frac{R}{L_0}i_a-\frac{K_e}{L_0}\dot{\theta}+\frac{1}{L_0}v_a) }

と表されるので、仮定(15)の第2式におけるk_3\alphaは次のように特定できます。

\displaystyle{(8)\quad |f_m|<\frac{\xi_L}{L_0}|v_a|+ \frac{\xi_L}{L_0}(R|i_a|+K_e|\dot{\theta}|) <\underbrace{\frac{1}{10L_0}}_{k_3}|v_a|+ \underbrace{\frac{1}{10L_0}(R|i_a|+K_e|\dot{\theta}|)}_{\alpha} }

またf_uについては、スライディングモード時には

\displaystyle{(9)\quad f_u=-\xi_J\dot{\omega}=-\xi_J(\frac{J_0}{K_t}\omega_n^2\theta+2\frac{J_0}{K_t}\zeta\omega_n\dot{\theta}) }

と表されるので、仮定(15)の第1式におけるk_1k_2は次のように特定できます。

\displaystyle{(10)\quad |f_u|<|\xi_J|||M||||x|| <\underbrace{0.5||M||}_{k_1}||x||+\underbrace{0}_{k_2} }