C11 2次安定性

リャプノフの安定定理

非線形システム理論に関する文献:
Hassan K.Khalil: Nonlinear Systems, 3rd ed., Prentice Hall, 2002
から次の定理(Theorem 4.1, p.114)を引用します。

リャプノフの安定定理 状態方程式

\displaystyle{(1)\quad \dot{x}(t)=f(x(t))}

に対して、その平衡状態 x^*=0 を含む領域 {\cal D} 考える。いま {\cal D} で連続微分可能な実数値関数 V に対して

\displaystyle{(2)\quad \left\{\begin{array}{l} V(0)=0 \\ V(x)>0\quad(x\in{\cal D},x\not=0) \end{array}\right.}

このとき

\displaystyle{(3)\quad \frac{d}{dt}V(x)\le0 \quad(x\in{\cal D})}

ならば、平衡状態 x^*=0 は安定、また

\displaystyle{(4)\quad \frac{d}{dt}V(x)<0 \quad(x\in{\cal D},x\not=0)}

ならば、平衡状態 x^*=0 は漸近安定である。

すなわち、(2)と(4)を満足するリャプノフ関数Vの存在を示して(発見して)、非線形系(1)の漸近安定性を示すことができます。

リャプノフ方程式

●リャプノフの安定定理を線形系

\displaystyle{(5)\quad \dot{x}(t)=Ax(t)\quad(x(t)\in{\bf R}^n)}

に適用して、漸近安定性を保証するリャプノフ関数を求めてみます。その候補として次を考えます。

\displaystyle{(6)\quad V(x)=x^T(t)Px(t)\quad(P>0)}

これを微分して(5)を用いると((5)の解に沿って微分して)

\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{l} \frac{d}{dt}V(x)=\dot{x}^T(t)Px(t)+x^T(t)P\dot{x}(t)\\ =x^T(t)A^TPx(t)+x^T(t)PAx(t)\\ =x^T(t)(A^TP+PA)x(t) \end{array} }

となります。したがって、線形行列不等式

\displaystyle{(8)\quad {A^TP+PA<0\quad(P>0)}}

が成り立てば、(2)と(4)が満足され、線形系(5)の漸近安定性が成り立つといえます。

●逆に、もし線形系(5)が漸近安定、すなわち

\displaystyle{(9)\quad x(t)=\exp(At)x(0)\rightarrow 0\quad(t\rightarrow \infty)}

であれば、線形行列不等式(8)を満たすP>0を次のように決めることができます。

\displaystyle{(10)\quad P=\int_0^\infty \exp(A^Tt)Q\exp(At)dt}

ここで、Q>0は任意です(ある条件下ではQ\ge0としてもよい)。実際

\displaystyle{(11)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{A^T\int_0^\infty \exp(A^Tt)Q\exp(At)dt+\int_0^\infty \exp(A^Tt)Q\exp(At)dt\,A}\\ \displaystyle{=\int_0^\infty \frac{d}{dt}(\exp(A^Tt)Q\exp(At))\,dt}\\ \displaystyle{=\left[\exp(A^Tt)Q\exp(At)\right]_0^\infty=-Q<0} \end{array} }

となって(8)を満足します。また、任意のv\ne0に対して

(12)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{v^TPv=\int_0^\infty v^T\exp(A^Tt)Q\exp(At)vdt}\\ \displaystyle{=\int_0^\infty ||Q^{1/2}\exp(At)v||dt\ge0} \end{array}

ですが、v^TPv=0とすると、Q^{1/2}\exp(At)v=0が得られ、これはv=0を意味し矛盾です。したがってv^TPv>0でなけれならず、P>0を得ます。以上から、線形行列不等式(8)が(5)の漸近安定性の必要十分条件になっています。

●一方、リャプノフ方程式と呼ばれる線形行列方程式

\displaystyle{(13)\quad PA+A^TP+Q=0\quad(Q>0)}

の解P>0を求めてリャプノフ関数を決めることができます。すなわち、線形行列方程式(13)も(5)の漸近安定性の必要十分条件となっていることに留意してください。これはスカラ系\dot{x}(t)=ax(t)の場合、次のように自明です。

\displaystyle{(14)\quad \exists p>0:2ap=-q<0\ (q>0)\quad\Leftrightarrow\quad a<0}

2次安定性

非線形系(1)に対してリャプノフ関数(6)を考えます。これを微分して(1)を用いると((2)の解に沿って微分して)

\displaystyle{(15)\quad %\begin{array}{l} \frac{d}{dt}V(x)=\dot{x}^T(t)Px(t)+x^T(t)P\dot{x}(t)=2x^T(t)P\dot{x}(t)=2x^T(t)Pf(x) %\end{array} }

となります。このとき2次安定とは

\displaystyle{(16)\quad  { %\begin{array}{l} \frac{d}{dt}V(x)=2x^T(t)Pf(x)\le -x^T(t)Qx(t)\quad(Q>0) %\end{array} }}

が成り立つことを言います。これは、次式を示すことができ、漸近安定性を意味するからです。

\displaystyle{(17)\quad { ||x(t)||\le \beta||x(0)||e^{-\frac{1}{2}\alpha t}} }

\displaystyle{(18)\quad {\alpha=\sigma_n(P^{-1}Q),\ \beta=\sqrt{\frac{\sigma_1(P)}{\sigma_n(P)} }}

以下では、これを導出します。

●予備知識として、任意の対称行列R>0に対して、特異値(固有値に等しい)を

\displaystyle{(19)\quad \sigma_1(R)\ge\cdots\ge\sigma_n(R) }

と表記し、また任意のv\ne0に対して

\displaystyle{(20)\quad {\sigma_n(R)\le\frac{v^TRv}{v^Tv}\le\sigma_1(R) %,\quad\sigma_1^{-2}(R)\le\frac{v^TR^{-1}v}{v^Tv}\le\sigma_n^{-2}(R) }}

および

\displaystyle{(21)\quad \sigma_1(R^{-1})=\frac{1}{\sigma_n(R)} }

が成り立つこと使います。

●そこで

\displaystyle{(22)\quad {\begin{array}{l} \sigma_n(Q)x^T(t)x(t)\le x^T(t)Qx(t)\\ x^T(t)Px(t)\le\sigma_1(P)x(t)^Tx(t) \end{array} }}

に注意して、次式を得ます。

\displaystyle{(23)\quad {\frac{d}{dt}V(x)\le -x^T(t)Qx(t) \le -\sigma_n(Q)x^T(t)x(t) \le -\sigma_n(Q) \frac{x^T(t)Px(t)}{\sigma_1(P)} %\le -\alpha V(x) }}

ここで

\displaystyle{(24)\quad {\frac{\sigma_n(Q)}{\sigma_1(P)}=\frac{1}{\sigma_1(P)\sigma_1(Q^{-1})} \le \frac{1}{\sigma_1(PQ^{-1})}=\sigma_n(P^{-1}Q) }}

を用いて

\displaystyle{(25)\quad {\frac{d}{dt}V(x)\le -\underbrace{\sigma_n(P^{-1}Q)}_{\alpha} V(x) }}

が成り立ちます。これから

\displaystyle{(26)\quad V(x)\le V(0)e^{-\alpha t} \Leftrightarrow x^T(t)Px(t)\le x^T(0)Px(0)e^{-\alpha t} }

ここで

\displaystyle{(27)\quad {\begin{array}{l} %\sigma_n^2(P)x^Tx\le x^TPx\le\sigma_1^2(P)x^Tx\\ %\sigma_n^2(P)x^T(0)x(0)\le x^T(0)Px(0)\le\sigma_1^2(P)x(0)^Tx(0) \sigma_n(P)x^T(t)x(t)\le x^T(t)Px(t)\\ x^T(0)Px(0)\le\sigma_1(P)x(0)^Tx(0) \end{array} }}

に注意して

\displaystyle{(28)\quad {\sigma_n(P)x^T(t)x(t) \le \sigma_1(P) x^T(0)x(0)e^{-\alpha t} }}

すなわち

\displaystyle{(29)\quad {\underbrace{x^T(t)x(t)}_{||x(t)||^2} \le \underbrace{\frac{\sigma_1(P)}{\sigma_n(P)}}_{\beta^2} \underbrace{x(0)^Tx(0)}_{||x(0)||^2} e^{-\alpha t} }}

を得ます。これから(17)が成り立ちます。

Note (20)の導出

●任意の正定行列R>0(サイズn\times n)に対して、次の特異値分解を考えます。

\displaystyle{(30)\quad \begin{array}{l} R=U\Sigma U^T\\ \Sigma={\rm diag}\{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}\quad(\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_n)\\ UU^T=U^TU=I_n \end{array} }

ここで、Rは対称行列なので固有値は実数、しかも正定なのでそれらはすべて正であること、したがって特異値\sigma_1Rの最大固有値、特異値\sigma_nRの最小固有値であることに注意してください。このとき、R=R^{1/2}R^{1/2}を満たすRの平方根行列は

\displaystyle{(31)\quad \begin{array}{l} R^{1/2}=U\Sigma^{1/2} U^T\\ \Sigma^{1/2}={\rm diag}\{\sqrt{\sigma_1},\cdots,\sqrt{\sigma_n}\} \end{array} }

で与えられます。また、Rの逆行列は

\displaystyle{(32)\quad \begin{array}{l} R^{-1}=U\Sigma^{-1} U^T\\ \Sigma^{-1}={\rm diag}\{\frac{1}{\sigma_1}\ge\cdots\ge\frac{1}{\sigma_n}\} \quad(\frac{1}{\sigma_n}\ge\cdots\ge\frac{1}{\sigma_1}) \end{array} }

のように表されます。これから(21)は自明です。

いま、R^{1/2}を用いて線形写像y=R^{1/2}xを考えると、これは3つの線形写像に分解されます。

\displaystyle{(33)\quad \begin{array}{l} x'=U^Tx\\ y'=\Sigma^{1/2} x'\\ y=Uy' \end{array} }

任意のn次元ベクトルx\in{\rm\bf R}^nのノルムとして、次の2ノルムを考えます。

\displaystyle{(34)\quad ||x||_2=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}&\Rightarrow&||x||_2^2=x^Tx\\ }

このとき、次が成り立ちます。

\displaystyle{(35)\quad ||x'||_2^2=||U^Tx||_2^2=x^TUU^Tx=x^Tx=||x||_2^2\ \Rightarrow\ \frac{||x'||_2}{||x||_2}=1 }

\displaystyle{(36)\quad \begin{array}{l} ||y'||_2^2=||\Sigma^{1/2} x'||_2^2=\sigma_1x_1'\,^2+\cdots+\sigma_nx_n'\,^2\\ \le \sigma_1(x_1'\,^2+\cdots+x_n'\,^2)=\sigma_1x'\,^Tx'=\sigma_1||x'||_2^2 \ \Rightarrow\ \frac{||y'||_2}{||x'||_2}\le\sqrt{\sigma_1} \end{array} }

\displaystyle{(37)\quad ||y||_2^2=||Uy'||_2^2=y'\,^TU^TUy'=y'\,^Ty'=||y'||_2^2\ \Rightarrow\ \frac{||y||_2}{||y'||_2}=1 }

すなわち

\displaystyle{(38)\quad \frac{||x'||_2}{||x||_2}\times\frac{||y'||_2}{||x'||_2}\times\frac{||y||_2}{||y'||_2}\le\sqrt{\sigma_1} \ \Rightarrow\ \frac{||y||_2}{||x||_2}=\frac{||R^{1/2}x||_2}{||x||_2}\le\sqrt{\sigma_1} }

一方

\displaystyle{(39)\quad \begin{array}{l} ||y'||_2^2=||\Sigma^{1/2} x'||_2^2=\sigma_1x_1'\,^2+\cdots+\sigma_nx_n'\,^2\\ \ge \sigma_n(x_1'\,^2+\cdots+x_n'\,^2)=\sigma_nx'\,^Tx'=\sigma_n||x'||_2^2 \ \Rightarrow\ \frac{||y'||_2}{||x'||_2}\ge\sqrt{\sigma_n} \end{array} }

より、次式が成り立ちます。

\displaystyle{(40)\quad \frac{||x'||_2}{||x||_2}\times\frac{||y'||_2}{||x'||_2}\times\frac{||y||_2}{||y'||_2}\ge\sqrt{\sigma_n} \ \Rightarrow\ \frac{||y||_2}{||x||_2}=\frac{||R^{1/2}x||_2}{||x||_2}\ge\sqrt{\sigma_n} }

したがって、(36)と合わせて、次式を得ます。

\displaystyle{(41)\quad \sqrt{\sigma_n} \le \frac{||R^{1/2}x||_2}{||x||_2}=\frac{\sqrt{x^TR^{1/2}R^{1/2}x}}{\sqrt{x^Tx}} \le\sqrt{\sigma_1} }

これを2乗して次が得られます。

\displaystyle{(42)\quad \sigma_n \le \frac{x^TRx}{x^Tx} \le\sigma_1 }

すなわち(20)が導出されました。