B63 船舶のロバスト制御

船舶のロバスト制御…Homework

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●船舶の針路制御のために、次のNomotoモデルを考えます。

$\displaystyle{ \dot{r}(t)=-\frac{1}{T(t)}r(t)+\frac{K(t)}{T(t)}\delta(t-L)+w(t)} }$

ただし、 $r(t)=\dot{\psi}(t)$ かつ

$\displaystyle{ T(t)=\frac{L}{U(t)}T',\ K(t)=\frac{U(t)}{L}K' \quad (U_1\le U(t)\le U_2) }$

ここで、舵の効果が出るまでの無駄時間 $L$ を想定しています。混同の恐れはないので船長 $L$ と同じ表記を用います。また前進速度 $U$ の変動により、時定数 $T$ と定常ゲイン $K$ が変動しますが、次式から舵は前進速度の２乗で効いてくることがわかります。

$\displaystyle{ \dot{r}(t)=-\underbrace{\left(\frac{U(t)}{L}\right)\frac{1}{T'}}_{a(t)=\frac{1}{T(t)}}r(t) +\underbrace{\left(\frac{U(t)}{L}\right)^2\frac{K'}{T'}}_{b(t)=\frac{K(t)}{T(t)}}\delta(t-L)+w(t) }$

いま、ある前進速度 $U^*$ に注目しますと、次の表現もできます。

$\displaystyle{ \dot{r}(t)=-\underbrace{\left(\frac{U(t)}{U^*}\right)\frac{1}{T^*}}_{a(t)=\frac{1}{T(t)}}r(t) +\underbrace{\left(\frac{U(t)}{U^*}\right)^2\frac{K^*}{T^*}}_{b(t)=\frac{K(t)}{T(t)}}\delta(t-L)+w(t) }$

ただし

$\displaystyle{ T^*=\frac{L}{U^*}T',\ K^*=\frac{U^*}{L}K' \quad (U_1\le U^*\le U_2) }$

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いま、次のような前進速度の変動を考えます。このとき、単位フィードバックによる閉ループ系は大きく変動します。

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ある前進速度 $U^*$ を基準にしたNOMOTOモデルを考えます。

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \dot{\psi}(t)=r(t) \\ \displaystyle{\dot{r}(t)=-\left(\frac{U}{U^*}\right)\frac{1}{T^*}r(t) +\left(\frac{U}{U^*}\right)^2\frac{K^*}{T^*}\delta(t)} \end{array}\right. }$

これに、舵のダイナミクス

$\displaystyle{ \dot{\delta}(t)=-\frac{1}{T_a}\delta(t)+\frac{K_a}{T_a}u(t) }$

を接続した状態空間表現を次のように表します。

$\displaystyle{ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{\psi}(t) \\ \dot{r}(t) \\ \dot{\delta}(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & -\left(\frac{U}{U^*}\right)\frac{1}{T^*} & \left(\frac{U}{U^*}\right)^2\frac{K^*}{T^*} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{T_a} \end{array}\right] }_{A(U,U^2)} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \psi(t) \\ r(t) \\ \delta(t) \end{array}\right] }_{x(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \frac{K_a}{T_a} \end{array}\right] }_{B} u(t) }$
$\displaystyle{ \underbrace{ \psi(t) }_{y(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \end{array}\right] }_{C} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \psi(t) \\ r(t) \\ \delta(t) \end{array}\right] }_{x(t)} }$

ここで、次のようなポリトピック表現ができることに注目します（本式は未発表です）。

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$\displaystyle{ A(U,U^2)=p_1(U,U^2)A_1+p_2(U,U^2)A_2+p_3(U,U^2)A_3 }$

ただし

$\displaystyle{A_1=A(U_1,U_1^2)}$
$\displaystyle{A_2=A(U_2,U_2^2)}$
$\displaystyle{A_3=A(\frac{U_1+U_2}{2},U_1U_2)}$

また、 $U_3=\frac{U_1+U_2}{2}$ を定義して

$\displaystyle{ p_1(U,U^2)=\frac{1}{p_0}\det \left[\begin{array}{cc} U-U_3 & U_2-U_3 \\ U^2-U_1U_2 & U_2^2-U_1U_2 \\ \end{array}\right]}$
$\displaystyle{ p_2(U,U^2)=\frac{1}{p_0}\det \left[\begin{array}{cc} U_1-U_3 & U-U_3 \\ U_1^2-U_1U_2 & U^2-U_1U_2 \\ \end{array}\right]}$
$\displaystyle{ p_3(U,U^2)=\frac{1}{p_0}\det \left[\begin{array}{cc} U_1-U_2 & U_2-U \\ U_1^2-U_2^2 & U_2^2-U^2 \\ \end{array}\right]}$
$\displaystyle{ p_0=\det \left[\begin{array}{cc} U_1-U_2 & U_2-U_3 \\ U_1^2-U_2^2 & U_2^2-U_1U_2 \\ \end{array}\right]}$
$\displaystyle{p_1(U,U^2)+p_2(U,U^2)+p_3(U,U^2)=1}$

これに基づいて、次のようなLPV制御の仕組みを考えます。これは端点 $(U_1,U_1^2)$ 、 $(U_2,U_2^2)$ と仮想的な端点 $(U_3,U_1U_2)$ が作る３角形領域における変動をカバーすることができます。

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次の２ポートシステムを構成します。

$\displaystyle{ P: \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{x}_I \end{array}\right]= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A(U,U^2)& 0 \\ -C & 0 \end{array}\right] }_{\cal{A}(U,U^2)} \left[\begin{array}{c} x \\ x_I \end{array}\right] + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] }_{B_1} r + \underbrace{\left[\begin{array}{c} B \\ 0 \end{array}\right] }_{B_2} u\\ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} y_{11} \\ y_{12} \end{array}\right] }_{y_1} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 &\omega_I\\ \omega_DCA(U,U^2) & 0 \end{array}\right] }_{C_1} \left[\begin{array}{c} x \\ x_I \end{array}\right] + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right] }_{D_{11}} r + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_DCB \end{array}\right] }_{D_{12}} u\\ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} y \\ x_I \end{array}\right] }_{y_2} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} C & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right] }_{C_2} \left[\begin{array}{c} x \\ x_I \end{array}\right] + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right] }_{D_{21}} r \end{array}\right.}$

$A(U,U^2)=p_1(U,U^2)A_1+p_2(U,U^2)A_2+p_3(U,U^2)A_3$

これに対して、次のコントローラを設計します。

$\displaystyle{ K_0: \left\{\begin{array}{l} \dot{x}_K=A_K(U,U^2)x_K+ \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} B_K^{(1)}(U,U^2) & B_K^{(2)}(U,U^2) \end{array}\right] }_{B_K(U,U^2)} \left[\begin{array}{c} y \\ x_I \end{array}\right] \\ u=C_K(U,U^2)x_K + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} D_K^{(1)}(U,U^2) & D_K^{(2)}(U,U^2) \end{array}\right] }_{D_K(U,U^2)} \left[\begin{array}{c} y \\ x_I \end{array}\right] \end{array}\right.}$

$A_K(U,U^2)=p_1(U,U^2)A_{K1}+p_2(U,U^2)A_{K2}+p_3(U,U^2)A_{K3}$
$B_K(U,U^2)=p_1(U,U^2)B_{K1}+p_2(U,U^2)B_{K2}+p_3(U,U^2)B_{K3}$
$C_K(U,U^2)=p_1(U,U^2)C_{K1}+p_2(U,U^2)C_{K2}+p_3(U,U^2)C_{K3}$
$D_K(U,U^2)=p_1(U,U^2)D_{K1}+p_2(U,U^2)D_{K2}+p_3(U,U^2)D_{K3}$

これから、次の出力フィードバックを得ます。

$\displaystyle{ K: \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{x}_K \\ \dot{x}_I \end{array}\right]= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_K(U,U^2) & B_K^{(2)}(U,U^2) \\ 0 & 0 \end{array}\right] }_{A_K(U,U^2)} \left[\begin{array}{c} x_K \\ x_I \end{array}\right] + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} B_K^{(1)}(U,U^2) & 0\\ -1& 1 \end{array}\right] }_{B_K(U,U^2)} \left[\begin{array}{c} y \\ r \end{array}\right] \\ u= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} C_K(U,U^2) & D_K^{(2)}(U,U^2) \end{array}\right] }_{C_K(U,U^2)} \left[\begin{array}{c} x_K \\ x_I \end{array}\right] + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} D_K^{(1)}(U,U^2) & 0 \end{array}\right] }_{D_K(U,U^2)} \left[\begin{array}{c} y \\ r \end{array}\right] \end{array}\right. }$