B51 LPV制御(状態FB)

LPV制御(状態FB)…Homework

ここでは、主軸変動を伴う回転体の運動制御を例にとって、状態FB形式のGS制御について説明します。

[1] 次図のような回転体の運動を考えます。

lec11-fig01a図1 主軸変動を伴う回転体

これは次の運動方程式で表されます。

\displaystyle{(1)\quad \left\{\begin{array}{l} J_1\dot{\omega}_1(t)-\omega_2(t)\Omega(t)(J_2-J_3)=\tau_1(t) \\ J_2\dot{\omega}_2(t)-\omega_1(t)\Omega(t)(J_3-J_1)=\tau_2(t) \end{array}\right. }

ここで、次のパラメータ変動を想定します。

\displaystyle{(2)\quad \Omega_{min}<\Omega(t)<\Omega_{max} }

次の状態方程式を得ます。

\displaystyle{(3) \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{\omega}_1(t) \\ \dot{\omega}_2(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & \Omega(t)\frac{J_2-J_3}{J_1} \\ -\Omega(t)\frac{J_3-J_1}{J_2} & 0 \end{array}\right] }_{A(\Omega(t))} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \omega_1(t) \\ \omega_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{J_1} & 0 \\ 0 & \frac{1}{J_2} \end{array}\right] }_{B} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \tau_1(t) \\ \tau_2(t) \end{array}\right] }_{u(t)} }

●いま、A(\Omega(t))は次式で表されることに着目します。

\displaystyle{(4)\quad A(\Omega(t))= \underbrace{\frac{\Omega_{max}-\Omega(t)}{\Omega_{max}-\Omega_{min}}}_{p_1(\Omega(t))} \underbrace{A(\Omega_{min})}_{A_1} + \underbrace{\frac{\Omega(t)-\Omega_{min}}{\Omega_{max}-\Omega_{min}}}_{p_2(\Omega(t))} \underbrace{A(\Omega_{max})}_{A_2} }

ただし

\displaystyle{(5)\quad p_1(\Omega(t))+p_2(\Omega(t))=1 }

このとき上の状態方程式は、端点(vertex)モデルとよばれる

\displaystyle{(6)\quad \dot{x}(t)=A_1x(t)+Bu(t),\ \dot{x}(t)=A_2x(t)+Bu(t) }

を、係数p_1(\Omega),p_2(\Omega)によって重み付けて

\displaystyle{(7)\quad \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))A_1+p_2(\Omega(t))A_2)}_{A(\Omega(t))}x(t)+Bu(t) }

のように得られることが分かります。これをLPV(Linear Parameter Varying)モデルと呼びます。

●状態フィートバックによるパラメータ変動抑制について考えます。そのために端点モデルに対応した状態フィートバック(端点コントローラとよばれる)

\displaystyle{(8)\quad u(t)=-F_1x(t),\ u(t)=-F_2x(t) }

を、係数p_1(\Omega(t)),p_2(\Omega(t))によって重み付けた

\displaystyle{(9)\quad u(t)=-\underbrace{(p_1(\Omega(t))F_1+p_2(\Omega(t))F_2)}_{F(\Omega(t))}x(t) }

のようなLPV(Linear Parameter Varying)制御を考えます。この閉ループ系は次式で表されます。

\displaystyle{(10)\quad \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2))}_{A_F(\Omega(t))}x(t) }

ここで、端点コントローラによる閉ループ系

\displaystyle{(11)\quad \dot{x}(t)=(A_1-BF_1)x(t),\  \dot{x}(t)=(A_2-BF_2)x(t) }

はそれぞれ漸近安定となるように設計しますが、閉ループ系の時変系としての安定性が保証されるかの検討が必要になります(Note B51参照)。

[2] いま、次の2ポート表現かつポリトピック表現されたn次系を考えます。

\displaystyle{(12)\quad P: \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))A_1+p_2(\Omega(t))A_2)}_{A(\Omega(t))}x(t)+B_1u_1(t)+B_2u_2(t) \\ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} y(t)\\ u(t) \end{array}\right] }_{y_1(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{c} C\\ 0 \end{array}\right] }_{C_1} x(t)+ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right] }_{D_{11}}u_1(t)+ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ I \end{array}\right] }_{D_{12}} u_2(t) \\ y_2(t)=x(t) \end{array}\right. }

これに対する状態フィードバック

\displaystyle{(13)\quad K: u_2(t)=-\underbrace{(p_1(\Omega(t))F_1+p_2(\Omega(t))F_2)}_{F(\Omega(t))}y_2(t) }

による閉ループ系

\displaystyle{(14)\quad P_{CL}: \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))(A_1-B_2F_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-B_2F_2))}_{A_F(\Omega(t))}x(t)+B_1u_1(t) \\ y_1(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{c} C\\ -F \end{array}\right] }_{C_1-D_{12}F} x(t) \end{array}\right. }

において、その{\cal L}_2ゲインが\gammaより小、すなわち

\displaystyle{(15)\quad \sup_{u_1\in{\cal L}_2}\frac{||y_1(t)||_2}{||u_1(t)||_2}<\gamma }

となるように状態フィードバックゲインF_1,F_2を求める問題を考えます。

●そのために、各端点におけるH_\infty制御(状態フィードバック)を共通のリャプノフ関数をもつように解きます。その際コントローラの実装上の立場から、各端点において

\lambda(A_1-BF_1),\lambda(A_2-BF_2)\subset{\cal D}_1\cup{\cal D}_2\cup{\cal D}_3

の制約を課すことがあります。この問題は次のように定式化されます。

Minimize \gamma on Y,Z_1,Z_2 subject to

\displaystyle{(16)\quad Y>0 }

\displaystyle{(17)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_1Y-B_2Z_1)^T+A_1Y-B_2Z_1 & B_1 & (C_1Y-D_{12}Z_1)^T \\ B_1^T & -\gamma I & D_{11}^T \\ C_1Y-D_{12}Z_1 & D_{11} & -\gamma I \end{array}\right]<0  }

\displaystyle{(18)\quad \begin{array}{l} 2\alpha Y+A_1Y-B_2Z_1+(A_1Y-B_2Z_1)^T<0 \\ \left[\begin{array}{cc} -rY & A_1Y-B_2Z_1 \\ (A_1Y-B_2Z_1)^T & -rY \end{array}\right]<0 \\ \left[\begin{array}{cc} \sin\theta(A_1Y-B_2Z_1+(A_1Y-B_2Z_1)^T) & \\ -\cos\theta(A_1Y-B_2Z_1-(A_1Y-B_2Z_1)^T) & \end{array}\right. \\ \left.\begin{array}{cc} & \cos\theta(A_1Y-B_2Z_1-(A_1Y-B_2Z_1)^T) \\ & \sin\theta(A_1Y-B_2Z_1+(A_1Y-B_2Z_1)^T) \end{array}\right]<0  \end{array} }

\displaystyle{(19)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_2Y-B_2Z_2)^T+A_2Y-B_2Z_2 & B_1 & (C_1Y-D_{12}Z_2)^T \\ B_1^T & -\gamma I & D_{11}^T \\ C_1Y-D_{12}Z_2 & D_{11} & -\gamma I \end{array}\right]<0 \\ }

\displaystyle{(20)\quad \begin{array}{l} 2\alpha Y+A_1Y-B_2Z_2+(A_1Y-B_2Z_2)^T<0 \\ \left[\begin{array}{cc} -rY & A_1Y-B_2Z_2 \\ (A_1Y-B_2Z_2)^T & -rY \end{array}\right]<0 \\ \left[\begin{array}{cc} \sin\theta(A_2Y-B_2Z_2+(A_2Y-B_2Z_2)^T) & \\ -\cos\theta(A_2Y-B_2Z_2-(A_2Y-B_2Z_2)^T) & \end{array}\right. \\ \left.\begin{array}{cc} & \cos\theta(A_2Y-B_2Z_2-(A_2Y-B_2Z_2)^T) \\ & \sin\theta(A_2Y-B_2Z_2+(A_2Y-B_2Z_2)^T) \end{array}\right]<0 \end{array} }

この最小化問題の解 Y,Z_1,Z_2を用いて、次のようにF_1,F_2を定めます。

\displaystyle{(21)\quad F_1=Z_1Y^{-1}}
\displaystyle{(22)\quad F_2=Z_2Y^{-1}}

●この問題設定では

\displaystyle{(23)\quad \left[\begin{array}{ccc} Y(A_1-B_2F)^T+(A_1-B_2F)Y & B_1 & Y(C_1-D_{12}F)^T \\ B_1^T & -\gamma I & D_{11}^T \\ (C_1-D_{12}F)Y & D_{11} & -\gamma I \end{array}\right]<0 }
\displaystyle{(24)\quad \left[\begin{array}{ccc} Y(A_2-B_2F)^T+(A_2-B_2F)Y & B_1 & Y(C_1-D_{12}F)^T \\ B_1^T & -\gamma I & D_{11}^T \\ (C_1-D_{12}F)Y & D_{11} & -\gamma I \end{array}\right]<0 }

の共通解Y>0を求めています。X=Y^{-1}ととれば

\displaystyle{(25)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1) & XB_1 & (C_1-D_{12}F)^T \\ B_1^TX_1 & -\gamma I & D_{11}^T \\ (C_1-D_{12}F) & D_{11} & -\gamma I \end{array}\right]<0 }
\displaystyle{(26)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_2-BF_2)^TX+X(A_2-BF_2) & XB_1 & (C_1-D_{12}F)^T \\ B_1^TX & -\gamma I & D_{11}^T \\ (C_1-D_{12}F) & D_{11} & -\gamma I \end{array}\right]<0 }

の共通解となっています。これにより、閉ループ系の時変系としての安定性が保証されます(Note B51参照)。

演習B51…Flipped Classroom

1^\circ 回転体のパラメータ変動を状態FBによるLPV制御で抑制したシミュレーションプログラムを以下に示す。これを実行し効果を確かめよ。

MATLAB
%cSPIN_sf_gs.m
%-----
 clear all close all
 J1=1; J2=1; J3=0.5;
 OMnom=2*pi; OMmin=0*OMnom; OMmax=2*OMnom;
 A1=[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0];
 B=diag([1/J1 1/J2]); C=eye(2); D=zeros(2,2);
 S0=[zeros(2,2) B;C D];
 S1=zeros(4,4); S1(1:2,1:2)=A1;
%-----
 J1=1; J2=1; J3=0.5; 
 OMnom=2*pi; OMmin=0*OMnom; OMmax=2*OMnom;
 A1= OMmin*[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0]; 
 A2= OMmax*[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0];
 B=diag([1/J1 1/J2]); 
 B1=B; B2=B;
 C1=[eye(2,2);zeros(2,2)]; 
 D11=zeros(4,2); 
 D12=[zeros(2,2);eye(2,2)];
 alpha=1; r=3; th=pi/4; 
 LMIs=sf_synlmi7(A1,A2,B1,B2,C1,D11,D12,alpha,r,th);
 cobj=zeros(1,decnbr(LMIs)); 
 cobj(1)=1; 
 [cost,xopt]=mincx(LMIs,cobj); 
 Y=dec2mat(LMIs,xopt,2);  
 Z1=dec2mat(LMIs,xopt,3);
 Z2=dec2mat(LMIs,xopt,4); 
 F1=Z1/Y,pl1=eig(A1-B2*F1)
 F2=Z2/Y,pl2=eig(A2-B2*F2) 
%------
 figure(1) 
 subplot(121),dregion(alpha,0,r,th,7*[-1,1,-1,1]) 
 plot(real(pl1),imag(pl1),'*') 
 subplot(122), dregion(alpha,0,r,th,7*[-1,1,-1,1]) 
 plot(real(pl2),imag(pl2),'*')  
%------ 
 prange=OMmax-OMmin; pmax=OMmax; pmin=OMmin; 
 sim("SPIN_sf_gs") 
%-----
function LMIs=sf_synlmi7(A1,A2,B1,B2,C1,D11,D12,alpha,r,th)
 [n,m]=size(B2);  
 sth=sin(th); cth=cos(th);
 setlmis([]);
 gam=lmivar(1,[1 0]); 
 Y=lmivar(1,[n 1]); 
 Z1=lmivar(2,[m n]); 
 Z2=lmivar(2,[m n]); 
%
 lmi11=newlmi;
 lmiterm([lmi11,1,1,Y],A1,1,'s');      %#1:A*Y+Y*A' 
 lmiterm([lmi11,1,1,Z1],-B2,1,'s');    %#1:-(B2*Z+Z*B2') 
 lmiterm([lmi11,1,2,0],B1);            %#1:B1 
 lmiterm([lmi11,2,2,gam],-1,1);        %#1:-gam 
 lmiterm([lmi11,3,1,Y],C1,1);          %#1:C1*Y 
 lmiterm([lmi11,3,1,Z1],-D12,1);       %#1:D12*Z 
 lmiterm([lmi11,3,2,0],D11);           %#1:D11 
 lmiterm([lmi11,3,3,gam],-1,1);        %#1:-gam 
 lmi21=newlmi;  
 lmiterm([lmi21,1,1,Y],A1,1,'s');      %#2:A*Y+Y*A'   
 lmiterm([lmi21,1,1,Z1],-B2,1,'s');    %#2:-(B2*Z+Z'*B2')   
 lmiterm([lmi21,1,1,Y],2*alpha,1);     %#2:2*alpha*Y   
 lmi31=newlmi;  
 lmiterm([lmi31,1,1,Y],-r,1);          %#3:-r*Y  
 lmiterm([lmi31,1,2,Y],A1,1);          %#3:A*Y   
 lmiterm([lmi31,1,2,Z1],-B2,1);        %#3:-B2*Z  
 lmiterm([lmi31,2,2,Y],-r,1);          %#3:-r*Y  
 lmi41=newlmi;  
 lmiterm([lmi41,1,1,Y],sth*A1,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi41,1,1,Z1],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
 lmiterm([lmi41,1,2,Y],cth*A1,1);      %#4:cth*A*Y  
 lmiterm([lmi41,1,2,Y],1,-cth*A1');    %#4:-cth*Y*A'  
 lmiterm([lmi41,1,2,Z1],-cth*B2,1);    %#4:-cth*B2*Z  
 lmiterm([lmi41,1,2,-Z1],1,cth*B2');   %#4:cth*Z'*B2'  
 lmiterm([lmi41,2,2,Y],sth*A1,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi41,2,2,Z1],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
%
 lmi12=newlmi;
 lmiterm([lmi12,1,1,Y],A2,1,'s');      %#1:A*Y+Y*A' 
 lmiterm([lmi12,1,1,Z2],-B2,1,'s');    %#1:-(B2*Z+Z*B2') 
 lmiterm([lmi12,1,2,0],B1);            %#1:B1 
 lmiterm([lmi12,2,2,gam],-1,1);        %#1:-gam 
 lmiterm([lmi12,3,1,Y],C1,1);          %#1:C1*Y 
 lmiterm([lmi12,3,1,Z2],-D12,1);       %#1:D12*Z 
 lmiterm([lmi12,3,2,0],D11);           %#1:D11 
 lmiterm([lmi12,3,3,gam],-1,1);        %#1:-gam 
 lmi22=newlmi;  
 lmiterm([lmi22,1,1,Y],A2,1,'s');      %#2:A*Y+Y*A'   
 lmiterm([lmi22,1,1,Z2],-B2,1,'s');    %#2:-(B2*Z+Z'*B2')   
 lmiterm([lmi22,1,1,Y],2*alpha,1);     %#2:2*alpha*Y   
 lmi32=newlmi;  
 lmiterm([lmi32,1,1,Y],-r,1);          %#3:-r*Y  
 lmiterm([lmi32,1,2,Y],A2,1);          %#3:A*Y   
 lmiterm([lmi32,1,2,Z2],-B2,1);        %#3:-B2*Z  
 lmiterm([lmi32,2,2,Y],-r,1);          %#3:-r*Y  
 lmi42=newlmi;  
 lmiterm([lmi42,1,1,Y],sth*A2,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi42,1,1,Z2],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
 lmiterm([lmi42,1,2,Y],cth*A2,1);      %#4:cth*A*Y  
 lmiterm([lmi42,1,2,Y],1,-cth*A2');    %#4:-cth*Y*A'  
 lmiterm([lmi42,1,2,Z2],-cth*B2,1);    %#4:-cth*B2*Z  
 lmiterm([lmi42,1,2,-Z2],1,cth*B2');   %#4:cth*Z'*B2'  
 lmiterm([lmi42,2,2,Y],sth*A2,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi42,2,2,Z2],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
%
 lmi5=newlmi;
 lmiterm([-lmi5,1,1,Y],1,1);           %#5:Y   
 lmi6=newlmi;
 lmiterm([lmi6,1,1,gam],1,1);          %#6:gam 
 lmiterm([-lmi6,1,1,0],1e3);           %#6:1000    
 LMIs=getlmis; 
end
%-----
%eof

図7 回転体のLPV制御

2^\circ 回転体のパラメータ変動を状態FBによるH^\infty制御で抑制したシミュレーションプログラムを以下に示す。これを実行し1^\circと比較せよ。

MATLAB
%cSPIN_sf_hinf.m
%-----
 clear all close all
 J1=1; J2=1; J3=0.5;
 OMnom=2*pi; OMmin=0*OMnom; OMmax=2*OMnom;
 A1=[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0];
 B=diag([1/J1 1/J2]); C=eye(2); D=zeros(2,2);
 S0=[zeros(2,2) B;C D];
 S1=zeros(4,4); S1(1:2,1:2)=A1;
%-----
 A=OMnom*[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0];
 B=diag([1/J1 1/J2]); 
 B1=B; B2=B;
 C1=[eye(2,2);zeros(2,2)]; 
 D11=zeros(4,2); 
 D12=[zeros(2,2);eye(2,2)];
 alpha=1; r=3; th=pi/4; 
 LMIs=sf_synlmi6(A,B1,B2,C1,D11,D12,alpha,r,th);
 cobj=zeros(1,decnbr(LMIs)); 
 cobj(1)=1; 
 [cost,xopt]=mincx(LMIs,cobj); 
 Y=dec2mat(LMIs,xopt,2);  
 Z=dec2mat(LMIs,xopt,3);  
 F=Z/Y;  
 pl=eig(A-B2*F)
 sim("SPIN_sf_hinf")
 close all,figure(1) 
 dregion(alpha,0,r,th,5*[-1,1,-1,1]) 
 plot(real(pl),imag(pl),'*') 
%-----
function LMIs=sf_synlmi6(A,B1,B2,C1,D11,D12,alpha,r,th)
 [n,m]=size(B2);  
 sth=sin(th); cth=cos(th);
 setlmis([]);
 gam=lmivar(1,[1 0]); 
 Y=lmivar(1,[n 1]); 
 Z=lmivar(2,[m n]); 
 lmi1=newlmi;
 lmiterm([lmi1,1,1,Y],A,1,'s');      %#1:A*Y+Y*A' 
 lmiterm([lmi1,1,1,Z],-B2,1,'s');    %#1:-(B2*Z+Z*B2') 
 lmiterm([lmi1,1,2,0],B1);           %#1:B1 
 lmiterm([lmi1,2,2,gam],-1,1);       %#1:-gam 
 lmiterm([lmi1,3,1,Y],C1,1);         %#1:C1*Y 
 lmiterm([lmi1,3,1,Z],-D12,1);       %#1:D12*Z 
 lmiterm([lmi1,3,2,0],D11);          %#1:D11 
 lmiterm([lmi1,3,3,gam],-1,1);       %#1:-gam 
 lmi2=newlmi;  
 lmiterm([lmi2,1,1,Y],A,1,'s');      %#2:A*Y+Y*A'   
 lmiterm([lmi2,1,1,Z],-B2,1,'s');    %#2:-(B2*Z+Z'*B2')   
 lmiterm([lmi2,1,1,Y],2*alpha,1);    %#2:2*alpha*Y   
 lmi3=newlmi;  
 lmiterm([lmi3,1,1,Y],-r,1);         %#3:-r*Y  
 lmiterm([lmi3,1,2,Y],A,1);          %#3:A*Y   
 lmiterm([lmi3,1,2,Z],-B2,1);        %#3:-B2*Z  
 lmiterm([lmi3,2,2,Y],-r,1);         %#3:-r*Y  
 lmi4=newlmi;  
 lmiterm([lmi4,1,1,Y],sth*A,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi4,1,1,Z],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
 lmiterm([lmi4,1,2,Y],cth*A,1);      %#4:cth*A*Y  
 lmiterm([lmi4,1,2,Y],1,-cth*A');    %#4:-cth*Y*A'  
 lmiterm([lmi4,1,2,Z],-cth*B2,1);    %#4:-cth*B2*Z  
 lmiterm([lmi4,1,2,-Z],1,cth*B2');   %#4:cth*Z'*B2'  
 lmiterm([lmi4,2,2,Y],sth*A,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi4,2,2,Z],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
 lmi5=newlmi;
 lmiterm([-lmi5,1,1,Y],1,1);         %#5:Y   
 lmi6=newlmi;
 lmiterm([lmi6,1,1,gam],1,1);        %#6:gam 
 lmiterm([-lmi6,1,1,0],1e3);         %#6:1000    
 LMIs=getlmis; 
end
%-----
%eof

図8 回転体のH_\infty制御

3^\circ 1^\circのLPV制御において、次のようにスケジューリングを止めた場合、これを実行し1^\circ2^\circと比較せよ。

図9 回転体のLPV制御<においてスケジューリングを止めた場合

Note B51 閉ループ系の時変系としての安定性

●次の時変自由系の漸近安定性を考えます。

\displaystyle{(1)\quad \dot{x}(t)=A(t)x(t) }

平衡状態x=0の近傍{\cal X}において、リャプノフ関数とよばれる

\displaystyle{(2)\quad \left\{\begin{array}{ll} V(x)>0 & (x\in{\cal X}, x\ne0) \\ V(x)=0 & (x=0) \end{array}\right. }

を構成して

\displaystyle{(3)\quad \frac{d}{dt}V(x(t))<0 }

を示すことができれば、平衡状態は漸近安定となることが知られています。

●ちなみに、時不変自由系

\displaystyle{(4)\quad \dot{x}(t)=Ax(t) }

の漸近安定性\lambda(A)\subset{\bf LHP}のLMI条件は

\displaystyle{(5)\quad \exists X>0:XA+A^TX<0\Leftrightarrow\exists Y>0:AY+YA^T<0 }

でした。このときは

\displaystyle{(6)\quad V(x(t))=x^T(t)Xx(t)}

と選べば

\displaystyle{(7)\quad \frac{d}{dt}V(x(t))=\dot{x}^T(t)Xx(t)+x^T(t)X\dot{x}(t)=x^T(t)(A^TX+XA)x(t)<0 }

となっていることが分かります。

●いま、上のA_1-BF_1A_2-BF_2を個別に安定行列としたとすると

\displaystyle{(19)\quad \exists X_1>0:X_1(A_1-BF_1)+(A_1-BF_1)^TX_1<0 }
\displaystyle{(20)\quad \exists X_2>0:X_2(A_2-BF_2)+(A_2-BF_2)^TX_2<0 }

から、個別にリャプノフ関数の候補

\displaystyle{(21)\quad V_1(x(t))=x^T(t)X_1x(t)}
\displaystyle{(22)\quad V_2(x(t))=x^T(t)X_2x(t)}

が得られますが、閉ループ系

\displaystyle{(23)\quad\dot{x}(t)=A_F(t)x(t)}

のリャプノフ関数を構成したことにはなりません。一方

\displaystyle{(24)\quad \exists X>0: \begin{array}{l} X(A_1-BF_1)+(A_1-BF_1)^TX<0\\ X(A_2-BF_2)+(A_2-BF_2)^TX<0 \end{array} }

となる共通のX>0を見つけることができれば

\displaystyle{(25)\quad V(x(t))=x^T(t)Xx(t) }

に対して、LPV制御では

\displaystyle{(26)\quad \begin{array}{l} \frac{d}{dt}V(x(t))=x^T(t)(A_F^T(\Omega(t))X+XA_F(\Omega(t)))x(t)\\\ =x^T(t)( ( ( p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2) )^TX\\ +X( p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2) ) )x(t)\\ =p_1(\Omega(t)) \underbrace{x^T(t)((A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1))x(t)}_{<0}\\ +p_2(\Omega(t)) \underbrace{x^T(t)((A_2-BF_2)^TX+X(A_2-BF_2))x(t)}_{<0}<0 \end{array} }

となって、リャプノフ関数を構成したことになります。

●LPVモデル

\displaystyle{(27)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2))}_{A_F(t)}x(t)+Bu(t) \\ y=Cx(t) \end{array}\right. }

に対して、各端点モデルの閉ループ系において、H_\inftyノルムは\gammaより小であるとすると

\displaystyle{(28)\quad \exists X_1>0:\ \left[\begin{array}{ccc} (A_1-BF_1)^TX_1+X_1(A_1-BF_1) & X_1B & C^T \\ B^TX_1 & -\gamma I & D^T \\ C & D & -\gamma I \end{array}\right]<0 }
\displaystyle{(29)\quad \exists X_2>0:\ \left[\begin{array}{ccc} (A_2-BF_2)^TX_2+X_2(A_2-BF_2) & X_2B & C^T \\ B^TX_2 & -\gamma I & D^T \\ C & D & -\gamma I \end{array}\right]<0 }

が成り立ちます。いま、共通解X_1=X_2=X>0が求まっているとしますと

\displaystyle{(30)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1) & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma^2 I & D^T \\ C & D &-I \end{array}\right]<0 }
\displaystyle{ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} (A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1) & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] < \left[\begin{array}{cc} C^T & 0 \\ D^T & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right] }
\displaystyle{(31)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1) & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma^2 I & D^T \\ C & D &-I \end{array}\right]<0 }
\displaystyle{ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} (A_2-BF_2)^TX+X(A_2-BF_2) & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] < \left[\begin{array}{cc} C^T & 0 \\ D^T & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right] }

に注意して

\displaystyle{(32)\quad \dot{V}(x(t))=\frac{d}{dt}(x^T(t)Xx(t))= }
\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ( p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2) )^TX\\ +X( p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2) ) \end{array} & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right] }
\displaystyle{ =p_1(\Omega(t)) \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} (A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1) & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right] }
\displaystyle{ +p_2(\Omega(t)) \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} (A_2-BF_2)^TX+X(A_2-BF_2) & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right] }
\displaystyle{ < \underbrace{(p_1(\Omega(t))+p_2(\Omega(t)))}_1 \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} - I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right] }
\displaystyle{ =\gamma^2 u^T(t)u(t)-y^T(t)y(t) }

を得ます。すなわち時変系としての閉ループ系において、消散性の条件

\displaystyle{(33)\quad \underbrace{\frac{d}{dt}(x^TXx)}_{\dot{V}(x)} <\underbrace{\gamma^2 u^Tu-y^Ty}_{s(u,y)} }

が成り立ち

\displaystyle{(34)\quad \sup_{u\in{\cal L}_2}\frac{||y(t)||_2}{||u(t)||_2}<\gamma }

が成り立ちます。これは時不変系の場合にはH_\inftyノルムですが、時変系の場合は{\cal L}_2ゲインとよびます。