B22 性能解析LMI(H∞ノルム)

性能解析LMI(H∞ノルム)…Homework

[1] 直達項をもつn次系のH_\inftyノルムが\gammaより小である条件は{\rm\bf LMI}を用いて、次のように表されます。

nthsys2図1 直達項をもつn次系

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\sup_{u\in{\cal L}_2}\frac{||y(t)||_2}{||u(t)||_2} =\sup_{\omega\in{\rm\bf R}}||\hat{G}(j\omega)||_2<\gamma} \\ \displaystyle{\Leftrightarrow \exists X>0:\ \left[\begin{array}{ccc} A^TX+XA & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma^2 I & D^T \\ C & D & -I \end{array}\right]<0} \\ \displaystyle{\Leftrightarrow \exists Y>0:\ \left[\begin{array}{ccc} YA^T+AY & B & YC^T \\ B^T & -\gamma^2 I & D^T \\ CY & D & -I \end{array}\right]<0} \end{array}}

実際、シュール補元に関するLMIより

\displaystyle{(2)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{ccc} A^TX+XA & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma^2 I & D^T \\ C & D &-I \end{array}\right]<0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} A^TX+XA & XB \\ B^TX & -\gamma^2 I \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc} C^T\\ D^T \end{array}\right] (-I) %(-\gamma^{-1} I) \left[\begin{array}{cc} C & D \end{array}\right] <0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} A^TX+XA & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] < \left[\begin{array}{cc} C^T & 0 \\ D^T & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right] \end{array} }

が成り立つことに注意して

\displaystyle{(3)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{ccc} A^TX+XA & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma^2 I & D^T \\ C & D & - I \end{array}\right]<0 \\ &\Leftrightarrow \forall \left[\begin{array}{c} x \\ u \end{array}\right]\ne0: \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x \\ u \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} A^TX+XA & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x \\ u \end{array}\right] }_{\dot{V}(x)=\frac{d}{dt}(x^TXx)} \\ < \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x \\ u \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} - I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x \\ u \end{array}\right] }_{s(u,y)=\gamma^2 u^Tu-y^Ty} \end{array} }

すなわち、消散性と呼ばれる条件

\displaystyle{(4)\quad \underbrace{\frac{d}{dt}(x^TXx)}_{\dot{V}(x)} <\underbrace{\gamma^2 u^Tu-y^Ty}_{s(u,y)} }

が成り立ち、これを積分して

\displaystyle{(5)\quad \underbrace{x^T(\infty)Xx(\infty)}_{V(x(\infty))} -\underbrace{x^T(0)Xx(0)}_{V(x(0))=0} <\underbrace{\int_0^\infty (\gamma^2u^Tu-y^Ty)\,dt}_{\int_0^\infty s(u,y)dt} }

を得ます。漸近安定性より左辺は正でなければならないので

(6)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{0<\gamma^2\underbrace{\int_0^\infty u^Tu\,dt}_{||u(t)||_2^2} -\underbrace{\int_0^\infty y^Ty\,dt}_{||y(t)||_2^2}}\\ \displaystyle{\Leftrightarrow ||y(t)||_2^2<\gamma^2||u(t)||_2^2}\\ \displaystyle{\Leftrightarrow \sup_{u\in{\cal L}_2}\frac{||y(t)||_2}{||u(t)||_2}<\gamma} \end{array} }

が成り立ちます。

●入力\sqrt{\gamma}u(t)から出力\frac{1}{\sqrt{\gamma}}y(t)への入出力特性は不変であることから

\displaystyle{(7) \begin{array}{l} \left[\begin{array}{ccc} A^TX+XA & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma^2 I & D^T \\ C & D & -I \end{array}\right]<0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc} A^TX+XA & X(B\sqrt{\gamma}) &  (\frac{1}{\sqrt{\gamma}}C)^T \\ (B\sqrt{\gamma})^TX & - \gamma^2 I &  D^T \\ (\frac{1}{\sqrt{\gamma}}C) & D & -I \end{array}\right]<0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc} I & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{\gamma} I & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{\gamma}} I \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} A^TX+XA & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma I & D^T \\ C & D &-\gamma I \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} I & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{\gamma} I & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{\gamma}} I \end{array}\right]<0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc} A^TX+XA & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma I & D^T \\ C & D &-\gamma I \end{array}\right]<0 \end{array} }

を得て、次が成り立ちます。

\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\sup_{u\in{\cal L}_2}\frac{||y(t)||_2}{||u(t)||_2} =\sup_{\omega\in{\rm\bf R}}||\hat{G}(j\omega)||_2<\gamma} \\ \displaystyle{\Leftrightarrow \exists X>0:\ \left[\begin{array}{ccc} A^TX+XA & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma I & D^T \\ C & D & -\gamma I \end{array}\right]<0} \\ \displaystyle{\Leftrightarrow \exists Y>0:\ \left[\begin{array}{ccc} YA^T+AY & B & YC^T \\ B^T & -\gamma I & D^T \\ CY & D & -\gamma I \end{array}\right]<0} \end{array}}

演習B22…Flipped Classroom

1^\circ 2次振動系に対して、適当な\gammaを設定し、H_\inftyノルムと$の大小関係をチェックするプログラムを作成せよ。

MATLAB
%ana_lmi5.m
%------
 clear all, close all
 zeta=0.4; Mp=0.5/zeta/sqrt(1-zeta^2)
 A=[0 1;-1 -2*zeta]; B=[0;1]; 
 C=[1 0]; D=0; n=2; 
 gam=input('gamma =  '); 
%------
 setlmis([]);
 X=lmivar(1,[n 1]);
%------
 lmi1=newlmi;   
 lmiterm([lmi1 1 1 X],1,A,'s'); %#1:X*A+A'*X 
 lmiterm([lmi1 1 2 X],1,B);     %#1:X*B 
 lmiterm([lmi1 2 2 0],-gam);    %#1:-gam 
 lmiterm([lmi1 3 1 0],C);       %#1:C 
 lmiterm([lmi1 3 2 0],D);       %#1:D 
 lmiterm([lmi1 3 3 0],-gam);    %#1:-gam
%------ 
 lmi2=newlmi;   
 lmiterm([-lmi2 1 1 X],1,1);    %#2:X 
%------ 
 LMIs=getlmis; 
 [tmin,xfeas]=feasp(LMIs);
 X=dec2mat(LMIs,xfeas,X) 
%------
%eof

図2 2次系の周波数応答の比較