B21 伝達特性

伝達特性…Homework

[0] n次系の応答の相互関係は次のようにまとめることができました。

linresp2a図1 線形系の時間応答

ここで、n次系のインパルス応答が分かれば、どのような入力を与えられても出力を計算できます。または伝達関数が分かれば同様のことが言えます。したがってn次系は漸近安定であるとして、その性能(伝達特性)の評価はインパルス応答または伝達関数を用いて行われます。伝達関数は状態空間表現のうち可制御かつ可観測な部分しか反映しないので、以下では(A,B)は可制御対、(A,C)は可観測対と仮定しておきます。

[1] x\in{\rm\bf R}^nからy\in{\rm\bf R}^mへの写像y=Axの「伝達特性」をどう測るかを考えます。これはスカラの場合は正比例の関係y=axですから、比例定数aに相当する量を求める話になります。

linearmap図2 線形写像

サイズm\times nの行列Aの次の特異値分解を考えます。

\displaystyle{(1)\quad \boxed{\begin{array}{l} A= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} U_1 & U_2 \end{array}\right] }_{U(m\times m)} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} {\rm diag}\{\sigma_1,\cdots,\sigma_k\} & 0_{k\times (n-k)} \\ 0_{(m-k)\times k} & 0_{(m-k)\times (n-k)} \end{array}\right] }_{\Sigma= \left[\begin{array}{cc} \Sigma_1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \quad(\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_k) } \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} V_1^T \\ V_2^T \end{array}\right] }_{V(n\times n)^T}\\ =U_1(m\times k)\Sigma_1(k\times k)V_1(n\times k)^T \end{array}} }

ここで、k={\rm rank}Aで、UVは直交行列です。

\displaystyle{(2)\quad UU^T=U^TU=I_m,\quad VV^T=V^TV=I_n }

したがって、次のような3つの線形写像に分解されます。

linearmap1図3 特異値分解

n次元ベクトルx\in{\rm\bf R}^nのノルムとして、次の3通りがよく用いられ、それぞれ1ノルム、2ノルム、\inftyノルムと呼ばれます。

\displaystyle{(3)\quad \boxed{\left\{\begin{array}{lll} ||x||_1=|x_1|+\cdots+|x_n|&\\ ||x||_2=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}&\Rightarrow&||x||_2^2=x^Tx\\ ||x||_\infty=\max\{|x_1|,\cdots,|x_n|\}& \end{array}\right.} }

以下では、ベクトルのノルムとして、2番目の2ノルムを考えます。

このとき、次が成り立ちます。

\displaystyle{(4)\quad ||x'||_2^2=||Vx||_2^2=x^TV^TVx=x^Tx=||x||_2^2\ \Rightarrow\ \frac{||x'||_2}{||x||_2}=1 }

\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{l} ||y'||_2^2=||\Sigma x'||_2^2=\sigma_1^2x_1'\,^2+\cdots+\sigma_k^2x_k'\,^2+0x_{n+1}'\,^2+\cdots+0x_n'\,^2\\ \le \sigma_1^2(x_1'\,^2+\cdots+x_n'\,^2)=\sigma_1^2x'\,^Tx'=\sigma_1^2||x'||_2^2 \ \Rightarrow\ \frac{||y'||_2}{||x'||_2}\le\sigma_1 \end{array} }

\displaystyle{(6)\quad ||y||_2^2=||Uy'||_2^2=y'\,^TU^TUy'=y'\,^Ty'=||y'||_2^2\ \Rightarrow\ \frac{||y||_2}{||y'||_2}=1 }

すなわち

\displaystyle{(7)\quad \frac{||x'||_2}{||x||_2}\times\frac{||y'||_2}{||x'||_2}\times\frac{||y||_2}{||y'||_2}\le\sigma_1 \ \Rightarrow\ \frac{||y||_2}{||x||_2}=\frac{||Ax||_2}{||x||_2}\le\sigma_1 }

したがって、線形写像y=Axの伝達特性は、行列A2ノルム

\displaystyle{(8)\quad \boxed{||A||_2=\max_{x\ne 0}\frac{||Ax||_2}{||x||_2}=\sigma_1(A)} }

すなわち行列Aの最大特異値\sigma_1(A)(行列A^TAまたはAA^Tの最大固有値の正の平方根)によって測られます。

[2] 入力u(t)\in{\rm\bf R}^mから出力y(t)\in{\rm\bf R}^pへの漸近安定なn次系の「伝達特性」をどう測るかを考えます。

nthsys図4 n次系

n次系の入出力応答は次式で表されます。ただし、x(0)=0とします。

\displaystyle{(9)\quad y(t)=\int_0^t G(t-\tau)u(\tau)d\tau\quad(G(t)=C\exp(At)B) }

これをフーリエ変換しますと次式を得ます。

\displaystyle{(10)\quad \hat{y}(j\omega)=\hat{G}(j\omega)\hat{u}(j\omega)\quad(\hat{G}(j\omega)=C(j\omega I_n-A)^{-1}B) }

いま時間関数x(t)\in{\rm\bf R}^nのノルムを次のように定義し、このノルムが有界な時間関数の集合を{\cal L}_2と表記します。

\displaystyle{(11)\quad ||x(t)||_2=\sqrt{\int_0^\infty x^T(t)x(t)dt}<\infty }

このとき、次のパーセバルの定理

\displaystyle{(12)\quad \int_0^\infty x^T(t)x(t)\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty {\hat x}^{*T}(j\omega){\hat x}(j\omega)\,d\omega \quad ({\hat x}(j\omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j\omega t}dt) }

および周波数伝達関数行列\hat{G}(j\omega)の2ノルムに関する不等式

\displaystyle{(13)\quad \frac{||\hat{G}(j\omega)\hat{u}(j\omega)||_2}{||\hat{u}(j\omega)||_2} \le||\hat{G}(j\omega)||_2=\sigma_1(\hat{G}(j\omega)) }

に注意して、次式が成り立ちます。

(14)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\underbrace{\int_0^\infty y^T(t)y(t)\,dt}_{||y(t)||_2^2} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \hat{y}^{*T}(j\omega)\hat{y}(j\omega)\,d\omega} \\ \displaystyle{=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \hat{u}^{*T}(j\omega)\hat{G}^{*T}(j\omega)\hat{G}(j\omega)\hat{u}(j\omega)\,d\omega} \\ \displaystyle{\le\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty ||\hat{G}(j\omega)||_2^2\hat{u}(j\omega)^{*T}\hat{u}(j\omega)\,d\omega} \\ \displaystyle{\le\left(\sup_{\omega\in{\rm\bf R}}||\hat{G}(j\omega)||_2\right)^2\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \hat{u}(j\omega)^{*T}\hat{u}(j\omega)\,d\omega} \\ =\displaystyle{\left(\sup_{\omega\in{\rm\bf R}}||\hat{G}(j\omega)||_2\right)^2\underbrace{\int_0^\infty u^T(t)u(t)\,dt}_{||u(t)||_2^2}} \end{array} }

すなわち

\displaystyle{(15)\quad \frac{||y(t)||_2}{||u(t)||_2}\le\sup_{\omega\in{\rm\bf R}}||\hat{G}(j\omega)||_2 }

これに基づいて、n次系の{\bf H}_\inftyノルムを次式で定義します。

\displaystyle{(16)\quad \boxed{\sup_{u\in{\cal L}_2}\frac{||y(t)||_2}{||u(t)||_2} =\sup_{\omega\in{\rm\bf R}}||\hat{G}(j\omega)||_2 =\sup_{\omega\in{\rm\bf R}}\sigma_1(\hat{G}(j\omega))} }

●いま、任意の複素数cの特異値は\sigma_1(c)=|c|であることに注意すると、スカラ系のH_\inftyノルムは、ゲイン曲線の最大値であることがわかります。多変数系に対して\sigma_1(\hat{G}(j\omega))をプロットした曲線は\sigmaプロットと呼ばれています。

●次の直達項をもつn次系を考えます。
nthsys2図5 直達項をもつn次系

このとき、インパルス応答と周波数伝達関数は、それぞれ

\displaystyle{(17)\quad G(t)=C\exp(At)B+D }

\displaystyle{(18)\quad \hat{G}(j\omega)=C(j\omega I_n-A)^{-1}B+D }

となりますが、上の議論はそのまま成り立ち、H_\inftyノルムを定義できます。

[3] 漸近安定なn次系の「伝達特性」を測るもう一つの方法は、すべてのインパルス応答の2乗面積の総和によるものです。m入力p出力n次系のインパルス応答は

\displaystyle{(19)\quad g_{ij}(t)=C_i\exp(At)B_j\quad(i=1,\cdots,p; j=1,\cdots,m) }

pm個あります。いま任意の行列X=[x_{ij}]のすべての要素の2乗和{\rm tr}XX^Tはまたは{\rm tr}X^TXで表されることに注意します。すべてのインパルス応答の2乗面積の総和は

\displaystyle{(20)\quad {\rm tr}(\int_0^\infty G(t)G^T(t)dt)={\rm tr} (C\underbrace{\int_0^\infty \exp(At)BB^T\exp(A^Tt)dt}_{W_c}C^T) }

または

\displaystyle{(21)\quad %\begin{array}{l} {\rm tr}(\int_0^\infty G^T(t)G(t)dt)={\rm tr} (B^T\underbrace{\int_0^\infty \exp(A^Tt)C^TC\exp(At)dt}_{W_o}B) %\end{array} }

のように表されます。ここで、W_cW_oはそれぞれリャプノフ方程式

\displaystyle{(23)\quad W_cA^T+AW_c+BB^T=0 }

\displaystyle{(24)\quad W_oA+A^TW_o+C^TC=0 }

の解であることに注意しておきます。={\rm tr}XX^T={\rm tr}X^TXに注意して

\displaystyle{(25)\quad \sqrt{{\rm tr} (CW_cC^T)}=\sqrt{{\rm tr} (B^TW_oB)} }

の正の平方根をn次系の{\bf H}_2ノルムと呼びます。

●直達項をもつn次系の場合は、インパルス応答

\displaystyle{(26)\quad g_{ij}(t)=C_i\exp(At)B_j+D_{ij}\quad(i=1,\cdots,p;\ j=1,\cdots,m) }

の2乗面積の総和は発散してしまうので、H_2ノルムはできないことに注意します。

Note B21 1次系のパーセバルの定理 

1次系

\displaystyle{(1)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=-\frac{1}{T}x(t)+\frac{K}{T}u(t) \\ y(t)=x(t) \end{array}\right. }

のインパルス応答と周波数伝達関数の絶対値は

\displaystyle{(2)\quad g(t)=\frac{K}{T}e^{-\frac{1}{T}t},\ |\hat{g}(j\omega)|=\frac{K}{\sqrt{1+\omega^2 T^2}} }

となります。まずパーセバルの定理

\displaystyle{(3)\quad \int_0^\infty g^2(t)\,dt =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty |\hat{g}(j\omega)|^2\,d\omega }

が成り立つことは次のように確かめられます。

\displaystyle{(4)\quad \int_0^\infty g^2(t)\,dt =\int_0^\infty \frac{K^2}{T^2}e^{-\frac{2}{T}t}\,dt} =\frac{K^2}{T^2}\left[-\frac{T}{2}e^{-\frac{2}{T}t}\right]_0^\infty =\frac{K^2}{2T} }

\displaystyle{(5)\quad \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty |\hat{g}(j\omega)|^2\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{K^2}{1+\omega^2 T^2}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}{K^2}\left[\frac{1}{T}\tan^{-1}\omega T\right]_{-\infty}^\infty =\frac{1}{2\pi}\frac{K^2}{T}\pi }

また1次系のノルムは、複素数\hat{g}(j\omega)の特異値がその絶対値であることに注意して

\displaystyle{(6)\quad \sup_{u\in{\cal L}_2}\frac{||y(t)||_2}{||u(t)||_2} =\sup_{\omega\in{\rm\bf R}}|\hat{g}(j\omega)| =\sup_{\omega\in{\rm\bf R}}\frac{K}{\sqrt{1+\omega^2 T^2}} =K }