B14 D制約LMI

D制約LMI

[1] 次の命題が成り立ちます。

\displaystyle{ \begin{array}{lll} &&\lambda(A)\subset {\cal D}=\{s\in{\rm\bf C}: L+zM+z^*M^T<0\ (L=L^T)\}\\ &\Leftrightarrow& \exists X>0:\ L\otimes X+M\otimes(XA)+M^T\otimes(A^TX)<0\\ &\Leftrightarrow& \exists Y>0:\ L\otimes Y+M\otimes(AY)+M^T\otimes(YA^T)<0 \end{array} }

●十分性(\Leftarrow)は、クロネッカ積の公式(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC\otimes BD)を用いて、Av=\lambda vv^HA^T=\lambda^*v^H)のとき

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} (I_n\otimes v^H)(L\otimes X+M\otimes(XA)+M^T\otimes(A^TX))(I_n\otimes v)\\ =(I_n\otimes v^H)(L\otimes Xv+M\otimes(XAv)+M^T\otimes(A^TXv))\\ =L\otimes v^HXv+M\otimes(v^HXAv)+M^T\otimes(v^HA^TXv)\\ =L\otimes v^HXv+M\otimes(v^HX\lambda v)+M^T\otimes(\lambda^*v^HXv)\\ =\underbrace{v^HXv}_{>0}\underbrace{(L +\lambda M+\lambda^*M^T)}_{<0}<0 \end{array} }

が成り立つことから出ます。

●必要性(\Rightarrow)を示すために、まずAは対角化可能とします。このとき

\displaystyle{(2)\quad L+\lambda_i M+\lambda_i^*M^T<0\quad (i=1,\cdots,n) }

ならば、これらをブロック対角にもたせた次式が成り立ちます。

\displaystyle{(3)\quad L\otimes I_n+M\otimes {\rm diag}\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}+M^T\otimes {\rm diag}\{\lambda_1^*,\cdots,\lambda_n^*\}<0 }

次に、Aが対角化可能ではないときは、そのジョルダン分解を

\displaystyle{(4)\quad \begin{array}{l} A=TJT^{-1}\\ J={\rm diag}\{J_1,\cdots,J_r\}\\ J_i={\rm diag}\{J(\lambda_i,s_{i1}),\cdots,J(\lambda_i,s_{ir_i})\}\in{\rm\bf R}^{m_i\times m_i}\\ (m_1+\cdots+m_r=n;\ s_{i1}+\cdots+s_{ir_i}=m_i) \end{array} }

ただし、ジョルダン細胞を

\displaystyle{(5)\quad J(\lambda,k)=\left[\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & & 0\\  0 & \lambda & \ddots & \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{array}\right]\in{\rm\bf R}^{k\times k} }

とします。いま

\displaystyle{(6)\quad T_\epsilon=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\  0 & \frac{1}{\epsilon} & \ddots & \vdots\\  \vdots & \ddots & \ddots & 0\\  0 & \cdots & 0 & \frac{1}{\epsilon^{k-1}} \end{array}\right],\  T_\epsilon^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\  0 & {\epsilon} & \ddots & \vdots\\  \vdots & \ddots & \ddots & 0\\  0 & \cdots & 0 & {\epsilon^{k-1}} \end{array}\right] }

を用いて

\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{l} T_\epsilon J(\lambda,k)T_\epsilon^{-1}\\ =T_\epsilon \left[\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & & 0\\  0 & \lambda & \ddots & \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\  0 & {\epsilon} & \ddots & \vdots\\  \vdots & \ddots & \ddots & 0\\  0 & \cdots & 0 & {\epsilon^{k-1}} \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\  0 & \frac{1}{\epsilon} & \ddots & \vdots\\  \vdots & \ddots & \ddots & 0\\  0 & \cdots & 0 & \frac{1}{\epsilon^{k-1}} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} \lambda & \epsilon & & 0\\  0 & \lambda\epsilon & \ddots & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \epsilon^{k-1} \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda\epsilon^{k-1} \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc} \lambda & \epsilon & & 0\\  0 & \lambda & \ddots & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \epsilon \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{array}\right] \end{array} }

を得ます。したがって、Aの各ジョルダン細胞に対するT_\epsilonをブロック対角に持たせた\hat{T}_\epsilonを用いて

\displaystyle{(8)\quad \Lambda_\epsilon = \underbrace{\hat{T}_\epsilon T}_{S}AT^{-1}\hat{T}_\epsilon^{-1} }

は十分小さな\epsilonに対して対角行列となります。したがって、(3)と同様に

\displaystyle{(9)\quad \left.L\otimes I_n+M\otimes \Lambda_\epsilon+M^T\otimes \Lambda_\epsilon^*\right|_{\epsilon\rightarrow0}<0 }

を得ます。これから、S=\left.\hat{T}_\epsilon T|_{\epsilon\rightarrow0}とおき、\Lambda_\epsilon=SAS^{-1}\Lambda_\epsilon^*=S^{-T}A^TS^T)を用いて

\displaystyle{(10)\quad \begin{array}{l} (I_n\otimes S^H)(L\otimes I_n+M\otimes(SAS^{-1})+M^T\otimes(S^{-T}A^TS^T)(I_n\otimes S)\\ =(I_n\otimes S^H)(L\otimes S+M\otimes(SA)+M^T\otimes(S^{-H}A^TS^HS))\\ =L\otimes \underbrace{S^HS}_{X}+M\otimes(S^HSA)+M^T\otimes(A^TS^HS)<0 \end{array} }

が成り立ち、必要性が示されたことになります。