B11 α制約LMI

α制約LMI…Homework

[0] 自由系\dot{x}=Axが漸近安定であるための必要十分条件は、行列Aの固有値がすべて複素左平面{\rm\bf LHP}に存在することでした。でも平衡状態x=0に復帰するその過程はいつもの好ましいとは言えません。たとえば、平衡状態x=0に復帰する速さが適切であること、その過程が振動的でないこと、そして適切なサンプリング周期をもつ(絶対値が極端に大きな固有値をもたない)ことが必要です。そこで行列Aの固有値が含まれる望ましい領域\cal{D}

    \[\lambda(A)\subset{\cal D}\subset{\rm\bf LHP}\]

を考え、そのための条件を線形行列不等式{\rm\bf LMI}(Linear Matrix Inequality)で表します。

●準備として、次の命題をチェックします。

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{lll} && \left[\begin{array}{cc} P & M \\ M^T & Q \end{array}\right]<0\\ &\Leftrightarrow& P-MQ^{-1}M^T<0,\ Q<0\\ &\Leftrightarrow& P<0,\ Q-M^TP^{-1}M<0 \end{array} }

ここに出てくるP-MQ^{-1}M^TまたはQ-M^TP^{-1}Mシュール補元(Shure Complement)と呼ばれています。

実際、次のように示されます。

\displaystyle{(2)\quad \begin{array}{lll} & & \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} P & M \\ M^T & Q \end{array}\right] }_{R} \\ &=& \left[\begin{array}{cc} I & MQ^{-1} \\ 0 & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} P-MQ^{-1}M^T & 0 \\ 0 & Q \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ Q^{-1}M^T & I \end{array}\right] \\ &=& \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ M^TP^{-1} & I \end{array}\right] }_{T^T} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} P & 0 \\ 0 & Q-M^TP^{-1}M \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I & P^{-1}M \\ 0 & I \end{array}\right] }_{T} \end{array} }

これから

\displaystyle{(3)\quad x^TRx=\underbrace{x^TT^T}_{y^T}S\underbrace{Tx}_{y}=y^TSy}

を得て、次が成り立ちます。

\displaystyle{(4)\quad \forall x\ne0: x^TRx<0\Leftrightarrow \forall y=Tx\ne0: y^TSy<0}

[1] 次の領域{\cal D}_1を考えます。
region1図1 領域{\cal D}_1

このとき、次の命題が成り立ちます。

\displaystyle{ \begin{array}{lll} &&\lambda(A)\subset {\cal D}_1=\{s=x+jy\in{\rm\bf C}: 2\alpha+s+s^*<0 \}\\ &\Leftrightarrow& \exists X>0:\ 2\alpha X+XA+A^TX<0\\ &\Leftrightarrow& \exists Y>0:\ 2\alpha Y+AY+YA^T<0 \end{array} }

●実際、まず領域{\cal D}_1が上図を表すことは、次のように確かめられます。

\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{lll} &&2\alpha+s+s^*<0\nonumber\\ &\Leftrightarrow& 2\alpha+(x+jy)+(x-jy)<0\nonumber\\ &\Leftrightarrow& x<-\alpha\nonumber \end{array} }

●次に、十分性は、Av=\lambda vとしますと、次のように確かめられます(*は複素共役)。

\displaystyle{(6)\quad \begin{array}{lll} &&v^{*T}(2\alpha X+XA+A^TX)v\nonumber\\ &=&2\alpha v^{*T}Xv+v^{*T}X(\lambda v)+(\lambda^*v^{*T})Xv \nonumber\\ &=&(2\alpha+\lambda+\lambda^*)v^{*T}Xv \nonumber\\ &=&2\underbrace{(\alpha+{\rm Re}(\lambda))}_{<0}\underbrace{v^{*T}Xv}_{>0}<0 \nonumber \end{array} }

さらに、y=Xxとおくと、次が成り立ちます。

\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{lll} && x^T(2\alpha X+XA+A^TX)x<0\quad (\forall x\ne0) \nonumber\\ &\Leftrightarrow& \underbrace{x^TX}_{y^T} (2\alpha \underbrace{X^{-1}}_{Y}+A\underbrace{X^{-1}}_{Y}+\underbrace{X^{-1}}_{Y}A^T) \underbrace{Xx}_y<0\quad (\forall y\ne0) \nonumber \end{array} }

演習B11…Flipped Classroom
1^\circ α制約を調べる次のコードを説明せよ。

MATLAB
%ana_lmi1.m
%-----
 clear all, close all
 A=[0 1;-2 -3]; n=2; 
%-----
 setlmis([]); 
 X=lmivar(1,[n 1]); 
%-----
 alpha=0.5;
 lmi1=newlmi; 
 lmiterm([lmi1 1 1 X],1,A,'s');  %#1:XA+A'*X   
 lmiterm([lmi1,1,1,X],2*alpha,1);%#1:2*alpha*X 
%
 lmi2=newlmi;     
 lmiterm([-lmi2 1 1 X],1,1);     %#2:X   
%-----
 LMIs=getlmis;   
 [tmin,xfeas]=feasp(LMIs);   
 X=dec2mat(LMIs,xfeas,X)   
%-----
%eof

Note B11-1 Inversion Lemma
\displaystyle{(1)\quad \left[\begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} I & M_{12}M_{22}^{-1} \\ 0 & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} M_{11}-M_{12}M_{22}^{-1}M_{21} & 0 \\ 0 & M_{22} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ M_{22}^{-1}M_{21} & I \end{array}\right] }

\displaystyle{(2)\quad \left[\begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{cc} \Phi^{-1} & -\Phi^{-1}M_{12}M_{22}^{-1} \\ -M_{22}^{-1}M_{21}\Phi^{-1} & M_{22}^{-1}+M_{22}^{-1}M_{21}\Phi^{-1}M_{12}M_{22}^{-1} \end{array}\right] }

\displaystyle{(3)\quad \Phi\stackrel{\rm def}{=}M_{11}-M_{12}M_{22}^{-1}M_{21}\ (M_{22}\ {\rm nonsingular}) }

および

\displaystyle{(4)\quad \left[\begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ M_{21}M_{11}^{-1} & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} M_{11} & 0 \\ 0 & M_{22}-M_{21}M_{11}^{-1}M_{12} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} I & M_{11}^{-1}M_{12} \\ 0 & I \end{array}\right] }

\displaystyle{(5)\quad \left[\begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{cc} M_{11}^{-1}+M_{11}^{-1}M_{12}\Psi^{-1}M_{21}M_{11}^{-1} & -M_{11}^{-1}M_{12}\Psi^{-1} \\ -\Psi^{-1}M_{21}M_{11}^{-1} & \Psi^{-1} \end{array}\right] }

\displaystyle{(6)\quad \Psi\stackrel{\rm def}{=}M_{22}-M_{21}M_{11}^{-1}M_{12}\ (M_{11}\ {\rm nonsingular}) }

が成り立つことから、次を得ます。

\displaystyle{(7)\quad \Phi^{-1}=(M_{11}-M_{12}M_{22}^{-1}M_{21})^{-1}= M_{11}^{-1}+M_{11}^{-1}M_{12}\Psi^{-1}M_{21}M_{11}^{-1} }

\displaystyle{(8)\quad \Psi^{-1}=(M_{22}-M_{21}M_{11}^{-1}M_{12})^{-1}= M_{22}^{-1}+M_{22}^{-1}M_{21}\Phi^{-1}M_{12}M_{22}^{-1} }

特に、次が成り立ちます。

\displaystyle{(9)\quad\boxed{ (A-LBR)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}L(B^{-1}-RA^{-1}L)^{-1}RA^{-1} }}